номер 829, страница 12, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите корни уравнений (823–829):

829.

1) $\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{0,14}{0,35}$;

2) $\frac{a - 3,2}{2a + 1,4} = \frac{0,9}{2,7}$;

3) $\frac{-3}{9 - 4a} = \frac{40}{200}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{0,14}{0,35}$.

Сначала упростим правую часть уравнения. Для этого можно умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{0,14}{0,35}$ на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков, а затем сократить полученную дробь:

$\frac{0,14}{0,35} = \frac{0,14 \cdot 100}{0,35 \cdot 100} = \frac{14}{35} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{2}{5}$.

Теперь уравнение имеет вид: $\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{2}{5}$.

Это пропорция. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $\text{x}$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $3 - 5x \neq 0$, откуда $5x \neq 3$, то есть $x \neq \frac{3}{5}$ или $x \neq 0,6$.

Применим основное свойство пропорции (правило креста): произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

$5 \cdot (4x - 3) = 2 \cdot (3 - 5x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$20x - 15 = 6 - 10x$

Перенесем все слагаемые, содержащие $\text{x}$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$20x + 10x = 6 + 15$

Приведем подобные слагаемые:

$30x = 21$

Найдем $\text{x}$, разделив обе части уравнения на 30:

$x = \frac{21}{30}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{7}{10} = 0,7$

Полученный корень $x=0,7$ не противоречит ОДЗ, так как $0,7 \neq 0,6$.

Ответ: $0,7$.

2) Исходное уравнение: $\frac{a - 3,2}{2a + 1,4} = \frac{0,9}{2,7}$.

Упростим правую часть уравнения. Умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{0,9}{2,7} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{a - 3,2}{2a + 1,4} = \frac{1}{3}$.

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $2a + 1,4 \neq 0$, откуда $2a \neq -1,4$, то есть $a \neq -0,7$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3 \cdot (a - 3,2) = 1 \cdot (2a + 1,4)$

Раскроем скобки:

$3a - 9,6 = 2a + 1,4$

Сгруппируем слагаемые с переменной $\text{a}$ в левой части, а числа — в правой:

$3a - 2a = 1,4 + 9,6$

Выполним вычисления:

$a = 11$

Полученный корень $a = 11$ удовлетворяет ОДЗ, поскольку $11 \neq -0,7$.

Ответ: $11$.

3) Исходное уравнение: $\frac{-3}{9 - 4a} = \frac{40}{200}$.

Сначала упростим дробь в правой части уравнения, сократив ее на 40:

$\frac{40}{200} = \frac{40 \div 40}{200 \div 40} = \frac{1}{5}$.

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{-3}{9 - 4a} = \frac{1}{5}$.

ОДЗ: знаменатель $9 - 4a \neq 0$, что означает $4a \neq 9$, и, следовательно, $a \neq \frac{9}{4}$ или $a \neq 2,25$.

Применим правило перекрестного умножения для пропорции:

$-3 \cdot 5 = 1 \cdot (9 - 4a)$

$-15 = 9 - 4a$

Перенесем слагаемое с переменной $\text{a}$ в левую часть, а числовое слагаемое — в правую:

$4a = 9 + 15$

$4a = 24$

Найдем $\text{a}$, разделив обе части на 4:

$a = \frac{24}{4}$

$a = 6$

Корень $a = 6$ удовлетворяет ОДЗ, так как $6 \neq 2,25$.

Ответ: $\text{6}$.