номер 3, страница 17, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Объясните, почему уравнения $x - 7 = 2x$; $x = 2x + 7$; $x - 7 + 7 = 2x + 7$; $3x - 21 = 6x$ равносильны.

Уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней полностью совпадают. Чтобы доказать, что данные уравнения равносильны, достаточно показать, что все они имеют один и тот же корень. Другой способ — показать, что одно уравнение можно получить из другого с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим каждое уравнение.

$x - 7 = 2x$

Это исходное уравнение. Найдем его корень. Для этого перенесем слагаемые с переменной $\text{x}$ в одну сторону, а числа — в другую.

Вычтем $\text{x}$ из обеих частей уравнения:

$-7 = 2x - x$

$-7 = x$

Корень первого уравнения: $x = -7$.

$x = 2x + 7$

Решим это уравнение. Вычтем $2x$ из обеих частей:

$x - 2x = 7$

$-x = 7$

Умножим обе части на $-1$:

$x = -7$

Корень этого уравнения также $x = -7$.

Заметим, что это уравнение можно получить из первого ($x-7=2x$) путем прибавления числа 7 к обеим его частям. Такое преобразование является равносильным, то есть не изменяет множество корней уравнения.

$x - 7 + 7 = 2x + 7$

Это уравнение является результатом прибавления 7 к обеим частям первого уравнения $x-7=2x$. Если мы упростим левую часть, то получим:

$x = 2x + 7$

Это в точности второе уравнение, которое, как мы уже показали, имеет корень $x = -7$. Следовательно, это уравнение также равносильно остальным.

$3x - 21 = 6x$

Решим это уравнение. Вычтем $3x$ из обеих частей:

$-21 = 6x - 3x$

$-21 = 3x$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{-21}{3}$

$x = -7$

Корень этого уравнения тоже $x = -7$.

Также это уравнение можно получить из первого ($x-7=2x$) путем умножения обеих его частей на 3:

$3 \cdot (x - 7) = 3 \cdot (2x)$

$3x - 21 = 6x$

Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю, является равносильным преобразованием.

Ответ: Все представленные уравнения, $x - 7 = 2x$, $x = 2x + 7$, $x - 7 + 7 = 2x + 7$ и $3x - 21 = 6x$, являются равносильными, поскольку они имеют один и тот же корень $x = -7$. Кроме того, все они могут быть получены из первого уравнения с помощью равносильных преобразований (сложение с одним и тем же числом, умножение на одно и то же ненулевое число), что также доказывает их равносильность.