Номер 1021, страница 78, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1021. 1) На сколько частей делят плоскость две пересекающиеся прямые?

2) Отметьте в тетради три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две точки проведите прямые. Сделайте рисунок.

• Сколько прямых можно провести?

• На сколько частей делят плоскость построенные прямые?

1)

Представим себе бесконечную плоскую поверхность. Когда мы проводим на ней одну прямую, она делит эту плоскость на две части (две полуплоскости). Если мы проведем вторую прямую так, чтобы она пересекала первую, эта вторая прямая пройдет через обе уже существующие части. При этом она разделит каждую из этих двух частей еще на две. Таким образом, количество частей удваивается. Изначально было 2 части, вторая прямая добавила еще 2. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$. Эти четыре части являются углами, которые имеют общую вершину в точке пересечения двух прямых.

Ответ: 4.

2)

Отметим на плоскости три точки, например, A, B и C, так, чтобы они не лежали на одной прямой. Это означает, что точки образуют вершины некоторого треугольника. Теперь, согласно аксиоме геометрии, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Проведем прямые через все возможные пары точек:

1. Прямая через точки A и B.

2. Прямая через точки B и C.

3. Прямая через точки A и C.

Так как исходные точки не лежат на одной прямой, построенные прямые будут попарно пересекаться в точках A, B и C. Ниже представлен схематический рисунок такой ситуации.

• Сколько прямых можно провести?

Для трех точек A, B, C, не лежащих на одной прямой, мы можем составить 3 уникальные пары точек: (A, B), (B, C) и (A, C). Через каждую такую пару можно провести одну единственную прямую. Следовательно, всего можно провести 3 прямые. Математически это число сочетаний из 3 элементов по 2: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.

Ответ: 3.

• На сколько частей делят плоскость построенные прямые?

Давайте посчитаем количество частей, на которые три прямые в общем положении (попарно пересекающиеся, но не все в одной точке) делят плоскость:

- Первая прямая делит плоскость на 2 части.

- Вторая прямая пересекает первую, проходит через 2 уже существующие области и делит каждую из них надвое. Это добавляет 2 новые части. Всего становится $2 + 2 = 4$ части.

- Третья прямая пересекает первые две прямые в двух разных точках. Таким образом, она проходит через 3 из четырех существующих областей. Разделяя каждую из них, она добавляет 3 новые части. Общее количество частей становится $4 + 3 = 7$.

Как видно на рисунке, одна из этих семи частей является ограниченной (центральный треугольник), а остальные шесть — неограниченные.

Существует общая формула для максимального числа областей $\text{R}$, на которые $\text{n}$ прямых могут разделить плоскость: $R(n) = \frac{n(n+1)}{2} + 1$.

Для нашего случая $n=3$: $R(3) = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \times 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: 7.