Номер 1243, страница 143, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1243. 1) Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры $\text{7}$, $\text{5}$ и $\text{4}$?

• Сколько простых чисел получилось?

• Сколько составных чисел получилось?

2) Запишите четырехзначные числа, в которых цифра $\text{9}$ повторяется $\text{2}$ раза, а цифра $\text{0}$ повторяется $\text{2}$ раза. Сколько чисел получилось?

1) Для того чтобы найти, сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 5 и 4, необходимо рассмотреть, сколько вариантов есть для каждой позиции в числе (разряд десятков и разряд единиц). В условии не указано, что цифры не могут повторяться, поэтому мы предполагаем, что повторения разрешены.

На позицию десятков можно поставить любую из трех данных цифр (7, 5 или 4), то есть у нас есть 3 варианта.

На позицию единиц также можно поставить любую из трех цифр (7, 5 или 4), что дает нам еще 3 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции: $3 \times 3 = 9$.

Получатся следующие числа: 77, 75, 74, 57, 55, 54, 47, 45, 44.

Ответ: можно записать 9 двузначных чисел.

• Сколько простых чисел получилось?

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет только два делителя: единицу и само себя. Проанализируем каждое из девяти полученных чисел:

Числа 74, 54, 44 — четные, а значит, делятся на 2. Так как они больше 2, они являются составными.

Числа 75, 55, 45 — оканчиваются на 5, а значит, делятся на 5. Так как они больше 5, они являются составными.

Число 77 делится на 7 и на 11 ($77 = 7 \times 11$), поэтому оно составное.

Для числа 57 сумма его цифр равна $5 + 7 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 57 делится на 3 ($57 = 3 \times 19$), следовательно, оно составное.

Осталось проверить число 47. Оно нечетное, не оканчивается на 0 или 5. Сумма его цифр $4 + 7 = 11$, не делится на 3. Проверим деление на следующее простое число, 7. $47$ на 7 без остатка не делится. Следующее простое число — 11, но его квадрат ($11^2 = 121$) уже больше 47, поэтому дальнейшие проверки не нужны. Число 47 является простым.

Таким образом, из всех полученных чисел только одно является простым.

Ответ: 1 простое число.

• Сколько составных чисел получилось?

Составные числа — это натуральные числа больше единицы, которые не являются простыми. Мы определили, что из 9 чисел одно является простым (47). Все остальные будут составными.

Количество составных чисел можно найти, вычтя количество простых чисел из общего количества чисел: $9 - 1 = 8$.

Составные числа: 77, 75, 74, 57, 55, 54, 45, 44.

Ответ: 8 составных чисел.

2) Требуется записать все четырехзначные числа, в которых цифра 9 повторяется 2 раза и цифра 0 повторяется 2 раза.

Четырехзначное число состоит из четырех цифр, и первая цифра (разряд тысяч) не может быть нулем.

В нашем случае для составления числа используются цифры {9, 9, 0, 0}. Так как число не может начинаться с 0, первая цифра обязательно должна быть 9.

Итак, наше число имеет вид 9 _ _ _. У нас остались одна цифра 9 и две цифры 0, которые нужно расставить на три оставшиеся позиции.

Рассмотрим все возможные варианты расстановки оставшейся цифры 9:

1. Если 9 стоит на второй позиции (в разряде сотен), то остальные две позиции занимают нули. Получаем число 9900.

2. Если 9 стоит на третьей позиции (в разряде десятков), то на второй и четвертой позициях будут нули. Получаем число 9090.

3. Если 9 стоит на четвертой позиции (в разряде единиц), то вторая и третья позиции будут заняты нулями. Получаем число 9009.

Это все возможные варианты, так как мы рассмотрели все возможные положения для второй девятки.

Ответ: 9900, 9090, 9009. Всего получилось 3 числа.