Номер 3, страница 142, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как определить количество вариантов в способе «Дерево возможных вариантов»?

«Дерево возможных вариантов» — это наглядный графический метод для систематического перебора всех возможных исходов в комбинаторных задачах. Чтобы определить общее количество вариантов с помощью этого метода, можно использовать два основных подхода.

1. Прямой подсчет (графический метод)

Этот способ заключается в построении самого дерева. Каждый «путь» от начала («корня» дерева) до его конца (конечной вершины, или «листа») представляет собой один уникальный вариант. Следовательно, чтобы найти общее количество вариантов, достаточно построить полное дерево и посчитать количество его конечных веток («листьев»). Сколько «листьев» у дерева — столько и возможных вариантов.

Пример: Нужно составить все возможные двузначные числа из цифр 1, 2, 3, при условии, что цифры в числе не повторяются.

Дерево будет выглядеть так:

• От корня отходят три ветки — первая цифра числа: 1, 2, 3.
• От ветки «1» отходят две ветки для второй цифры: 2, 3 (так как 1 уже использована). Получаем числа 12 и 13.
• От ветки «2» отходят две ветки для второй цифры: 1, 3. Получаем числа 21 и 23.
• От ветки «3» отходят две ветки для второй цифры: 1, 2. Получаем числа 31 и 32.

2. Правило умножения (комбинаторный метод)

Построение дерева наглядно иллюстрирует фундаментальное правило комбинаторики — правило умножения. Оно гласит: если некоторый выбор A можно сделать $k_1$ способами, и после каждого такого выбора другой выбор B можно сделать $k_2$ способами, то последовательность выборов A и B можно сделать $k_1 \times k_2$ способами.

Применительно к дереву:

• Подсчитайте, сколько веток отходит от корня (количество вариантов на первом шаге, $k_1$).
• Подсчитайте, сколько веток отходит от каждой вершины первого уровня (количество вариантов на втором шаге, $k_2$).
• Продолжайте для всех последующих шагов ($k_3, k_4, \dots$).

Общее количество вариантов (число «листьев») будет равно произведению числа вариантов на каждом шаге: $N = k_1 \times k_2 \times k_3 \times \dots$

В примере с числами:

• Выбор первой цифры: 3 способа ($k_1=3$).
• После выбора первой, для выбора второй цифры остается 2 способа (так как цифры не повторяются) ($k_2=2$).

Общее количество вариантов: $N = 3 \times 2 = 6$.

Этот метод позволяет найти ответ, не строя самого дерева, что особенно полезно в задачах с большим количеством вариантов.

Ответ: Количество вариантов в способе «Дерево возможных вариантов» определяется либо путем прямого подсчета всех конечных веток («листьев») на построенном дереве, либо с помощью правила умножения, перемножая количество вариантов выбора на каждом шаге (каждом уровне дерева).