Номер 1578, страница 219, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1578. В прямоугольнике $ABCD$ известны координаты вершин $А(-2; 5)$ и $В(4; 5)$ и центр симметрии $Е(1; 2)$. Найдите координаты вершин $С$ и $\text{D}$. Постройте прямоугольник $ABCD$.

Центр симметрии прямоугольника $\text{E}$ является точкой пересечения его диагоналей. Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам, поэтому точка $\text{E}$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Найдите координаты вершин C и D

Координаты середины отрезка находятся по формулам: $x_{сер} = \frac{x_1+x_2}{2}$, $y_{сер} = \frac{y_1+y_2}{2}$.

Отсюда можно выразить координаты одного из концов отрезка: $x_2 = 2x_{сер} - x_1$, $y_2 = 2y_{сер} - y_1$.

Для диагонали $AC$, точка $E(1; 2)$ является серединой, $A(-2; 5)$ — известный конец, а $C(x_C; y_C)$ — неизвестный. Найдем координаты $\text{C}$:

$x_C = 2x_E - x_A = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$

$y_C = 2y_E - y_A = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$

Координаты вершины $\text{C}$ равны $(4; -1)$.

Для диагонали $BD$, точка $E(1; 2)$ также является серединой, $B(4; 5)$ — известный конец, а $D(x_D; y_D)$ — неизвестный. Найдем координаты $\text{D}$:

$x_D = 2x_E - x_B = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$

$y_D = 2y_E - y_B = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$

Координаты вершины $\text{D}$ равны $(-2; -1)$.

Ответ: Координаты вершин: C(4; -1), D(-2; -1).

Постройте прямоугольник ABCD

Построение прямоугольника на координатной плоскости выполняется в несколько шагов:

1. Изобразить систему координат $Oxy$.

2. Отметить на плоскости точки с известными и найденными координатами: $A(-2; 5)$, $B(4; 5)$, $C(4; -1)$ и $D(-2; -1)$.

3. Соединить последовательно отрезками точки: $\text{A}$ с $\text{B}$, $\text{B}$ с $\text{C}$, $\text{C}$ с $\text{D}$ и $\text{D}$ с $\text{A}$.

В результате будет построен искомый прямоугольник $ABCD$.

Ответ: Построение заключается в нанесении вершин $A(-2; 5)$, $B(4; 5)$, $C(4; -1)$, $D(-2; -1)$ на координатную плоскость и их последовательном соединении отрезками.