Номер 1574, страница 218, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1574. Изобразите на координатной прямой и запишите с обозначением:

1) пересечение промежутков: а) $[-2; 4]$ и $[1; 6]$; б) $(-\infty; 1)$ и $(-7; +9)$; в) $(-9; 9)$ и $(-3; 11);$

2) объединение промежутков: а) $[-2; 3]$ и $[1; 6]$; б) $(-\infty; -4)$ и $(5; +\infty)$; в) $[-4; 3]$ и $[2; 9]$.

1) пересечение промежутков:

а) Найдем пересечение промежутков $[-2; 4]$ и $[1; 6]$.

Изобразим оба промежутка на координатной прямой. Первый промежуток $[-2; 4]$ включает все числа от $-2$ до $\text{4}$ включительно. Второй промежуток $[1; 6]$ включает все числа от $\text{1}$ до $\text{6}$ включительно.

Пересечением является общая часть этих промежутков. На координатной прямой видно, что оба промежутка одновременно покрывают область от $\text{1}$ до $\text{6}$. Ой, ошибка. От 1 до 4. На координатной прямой видно, что оба промежутка одновременно покрывают область от $\text{1}$ до $\text{4}$. Так как концы $\text{1}$ и $\text{4}$ являются закрашенными точками для обоих промежутков (включены), то и в результирующий промежуток они входят.

Запись с обозначением: $[-2; 4] \cap [1; 6] = [1; 4]$.

Ответ: $[1; 4]$

б) Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 1)$ и $(-7; +9)$.

Изобразим промежутки на координатной прямой. Первый промежуток $(-\infty; 1)$ — это все числа, строго меньшие $\text{1}$. Точка $\text{1}$ является выколотой. Второй промежуток $(-7; +9)$ — это все числа между $-7$ и $\text{9}$, не включая концы. Точки $-7$ и $\text{9}$ выколотые.

Пересечением будет общая для них область. Эта область находится между $-7$ и $\text{1}$. Поскольку точки $-7$ и $\text{1}$ являются выколотыми (не принадлежат одному из исходных промежутков), они не войдут в пересечение.

Запись с обозначением: $(-\infty; 1) \cap (-7; 9) = (-7; 1)$.

Ответ: $(-7; 1)$

в) Найдем пересечение промежутков $(-9; 9)$ и $(-3; 11)$.

Изобразим промежутки на прямой. Первый — это все числа между $-9$ и $\text{9}$. Второй — все числа между $-3$ и $11$. Концы во всех случаях не включены (выколотые точки).

Общей частью для этих двух интервалов является область, где они накладываются друг на друга. Это интервал от $-3$ до $\text{9}$. Концы $-3$ и $\text{9}$ не включаются, так как они выколоты в одном из исходных промежутков.

Запись с обозначением: $(-9; 9) \cap (-3; 11) = (-3; 9)$.

Ответ: $(-3; 9)$

2) объединение промежутков:

а) Найдем объединение промежутков $[-2; 3]$ и $[1; 6]$.

Изобразим промежутки на координатной прямой. Объединение — это все точки, принадлежащие хотя бы одному из промежутков. Первый промежуток покрывает отрезок от $-2$ до $\text{3}$, а второй — от $\text{1}$ до $\text{6}$. Поскольку они перекрываются, их объединение образует один непрерывный промежуток.

Этот промежуток начинается с наименьшей точки ($-2$) и заканчивается наибольшей ($\text{6}$). Так как обе эти точки включены в свои промежутки, они входят и в объединение.

Запись с обозначением: $[-2; 3] \cup [1; 6] = [-2; 6]$.

Ответ: $[-2; 6]$

б) Найдем объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(5; +\infty)$.

Изобразим промежутки на прямой. Первый — это все числа левее $-4$. Второй — все числа правее $\text{5}$. Между этими двумя областями есть разрыв (числа от $-4$ до $\text{5}$ включительно не входят ни в один из промежутков).

Поэтому их объединение нельзя представить в виде одного промежутка. Оно так и записывается, как объединение двух исходных промежутков.

Запись с обозначением: $(-\infty; -4) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (5; +\infty)$

в) Найдем объединение промежутков $[-4; 3]$ и $[2; 9]$.

Изобразим промежутки на прямой. Первый промежуток покрывает отрезок от $-4$ до $\text{3}$. Второй — от $\text{2}$ до $\text{9}$. Они имеют общую часть на отрезке $[2; 3]$.

Объединение представляет собой всю покрытую область. Она непрерывно простирается от наименьшей точки $-4$ до наибольшей $\text{9}$. Обе крайние точки включены в исходные промежутки, поэтому они входят и в итоговый промежуток.

Запись с обозначением: $[-4; 3] \cup [2; 9] = [-4; 9]$.

Ответ: $[-4; 9]$