Номер 1572, страница 218, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите неравенства (1571, 1572).

1572.

1) $|x| \le 4;$

2) $|x + 1| \le 10;$

3) $|x - 1| \ge 15;$

4) $|x + 2| \le 11;$

5) $|1 - x| > 0,9;$

6) $|3 - x| \ge 0,7.$

1) Решение неравенства $|x| \le 4$.

Неравенство с модулем вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

В нашем случае $a=x$ и $b=4$. Таким образом, мы получаем:

$-4 \le x \le 4$

Это означает, что решением является множество всех чисел, находящихся на числовой прямой между $-4$ и $\text{4}$, включая эти числа.

Ответ: $x \in [-4; 4]$.

2) Решение неравенства $|x + 1| \le 10$.

Это неравенство также имеет вид $|a| \le b$, где $a = x+1$ и $b=10$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-10 \le x + 1 \le 10$

Для нахождения $\text{x}$ вычтем 1 из каждой части двойного неравенства:

$-10 - 1 \le x + 1 - 1 \le 10 - 1$

$-11 \le x \le 9$

Решением является числовой отрезок от $-11$ до $\text{9}$.

Ответ: $x \in [-11; 9]$.

3) Решение неравенства $|x - 1| \ge 15$.

Неравенство с модулем вида $|a| \ge b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$.

В данном случае $a = x-1$ и $b=15$. Получаем совокупность:

$x - 1 \ge 15$ или $x - 1 \le -15$.

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. $x - 1 \ge 15 \implies x \ge 16$.

2. $x - 1 \le -15 \implies x \le -14$.

Решением является объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -14] \cup [16; +\infty)$.

4) Решение неравенства $|x + 2| \le 11$.

Это неравенство вида $|a| \le b$, где $a = x+2$ и $b=11$. Переходим к двойному неравенству:

$-11 \le x + 2 \le 11$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-11 - 2 \le x + 2 - 2 \le 11 - 2$

$-13 \le x \le 9$

Решением является числовой отрезок от $-13$ до $\text{9}$.

Ответ: $x \in [-13; 9]$.

5) Решение неравенства $|1 - x| > 0,9$.

Используем свойство модуля $|-a| = |a|$, поэтому $|1 - x| = |x - 1|$. Неравенство принимает вид $|x - 1| > 0,9$.

Неравенство вида $|a| > b$ равносильно совокупности $a > b$ или $a < -b$.

Получаем совокупность:

$x - 1 > 0,9$ или $x - 1 < -0,9$.

Решаем каждое неравенство:

1. $x - 1 > 0,9 \implies x > 1 + 0,9 \implies x > 1,9$.

2. $x - 1 < -0,9 \implies x < 1 - 0,9 \implies x < 0,1$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,1) \cup (1,9; +\infty)$.

6) Решение неравенства $|3 - x| \ge 0,7$.

Используя свойство $|-a| = |a|$, получаем $|3 - x| = |x - 3|$. Неравенство можно записать как $|x - 3| \ge 0,7$.

Это неравенство вида $|a| \ge b$, которое равносильно совокупности $a \ge b$ или $a \le -b$.

Получаем совокупность:

$x - 3 \ge 0,7$ или $x - 3 \le -0,7$.

Решаем каждое неравенство:

1. $x - 3 \ge 0,7 \implies x \ge 3 + 0,7 \implies x \ge 3,7$.

2. $x - 3 \le -0,7 \implies x \le 3 - 0,7 \implies x \le 2,3$.

Решением является объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 2,3] \cup [3,7; +\infty)$.