Номер 538, страница 158, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

538. 1) Длину прямоугольника увеличили на $10\%$ и ширину – на $20\%$. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

А. На $40\%$; В. На $32\%$; С. На $25\%$; D. На $30\%$.

2) Длину прямоугольника увеличили на $50\%$, а ширину уменьшили на $50\%$. Как изменилась площадь прямоугольника? На сколько процентов?

1) Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $\text{L}$, а ширина - $\text{W}$. Тогда его первоначальная площадь $S_{1}$ вычисляется по формуле $S_{1} = L \cdot W$.

Длину увеличили на 10%. Новая длина $L_{2}$ станет равна $L + 0.1L = 1.1L$.

Ширину увеличили на 20%. Новая ширина $W_{2}$ станет равна $W + 0.2W = 1.2W$.

Новая площадь прямоугольника $S_{2}$ будет равна произведению новой длины и новой ширины:

$S_{2} = L_{2} \cdot W_{2} = (1.1L) \cdot (1.2W) = 1.32 \cdot (L \cdot W) = 1.32 \cdot S_{1}$.

Новая площадь $S_{2}$ составляет $1.32$ от первоначальной площади $S_{1}$. Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100: $1.32 \cdot 100\% = 132\%$.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, нужно из новой процентной величины вычесть первоначальную (100%):

$132\% - 100\% = 32\%$.

Следовательно, площадь прямоугольника увеличилась на 32%. Это соответствует варианту В.

Ответ: В. На 32%.

2) Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $\text{L}$, а ширина - $\text{W}$. Его первоначальная площадь $S_{1}$ равна $S_{1} = L \cdot W$.

Длину увеличили на 50%. Новая длина $L_{2}$ составит $L + 0.5L = 1.5L$.

Ширину уменьшили на 50%. Новая ширина $W_{2}$ составит $W - 0.5W = 0.5W$.

Новая площадь прямоугольника $S_{2}$ будет равна:

$S_{2} = L_{2} \cdot W_{2} = (1.5L) \cdot (0.5W) = 0.75 \cdot (L \cdot W) = 0.75 \cdot S_{1}$.

Новая площадь $S_{2}$ составляет $0.75$ от первоначальной площади $S_{1}$. В процентах это $0.75 \cdot 100\% = 75\%$.

Поскольку новая площадь (75%) меньше первоначальной (100%), площадь уменьшилась. Чтобы найти, на сколько процентов, вычтем новую процентную величину из старой:

$100\% - 75\% = 25\%$.

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшилась.

Ответ: Площадь уменьшилась на 25%.