Номер 1001, страница 215 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 35. Свойства сложения рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1001, страница 215.

Условие.

1001. У электромонтёра есть два куска провода, общая длина которых 25 м. От них он планирует отрезать необходимые для работы куски в 1 м, 2 м, 3 м, 6 м, 12 м. Сможет ли электромонтёр отрезать необходимые для работы куски провода?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи, сначала найдем общую длину провода, которая необходима электромонтёру. Суммируем длины всех кусков, которые нужно отрезать:

$1 \text{ м} + 2 \text{ м} + 3 \text{ м} + 6 \text{ м} + 12 \text{ м} = 24 \text{ м}$

Общая длина имеющегося провода составляет 25 м, что больше необходимой длины в 24 м. Это означает, что по общей длине провода достаточно. Однако, нужно проверить, можно ли отрезать все куски, учитывая, что провод состоит из двух частей неизвестной длины.

Докажем, что электромонтёр сможет отрезать все необходимые куски, если будет делать это последовательно, в порядке убывания их длины (от самого большого к самому маленькому). Будем использовать метод доказательства от противного для каждого шага. Пусть длины двух исходных кусков провода равны $L_1$ и $L_2$, где по условию $L_1 + L_2 = 25$ м.

Шаг 1: Отрезание куска 12 м
Предположим, что отрезать кусок длиной 12 м невозможно. Это было бы возможно только в том случае, если оба имеющихся куска короче 12 м. То есть, $L_1 < 12$ м и $L_2 < 12$ м. Но тогда их общая длина была бы $L_1 + L_2 < 12 + 12 = 24$ м. Это противоречит условию, что их общая длина равна 25 м. Следовательно, наше предположение неверно, и как минимум один из кусков провода имеет длину не менее 12 м. Значит, кусок в 12 м отрезать можно.

Шаг 2: Отрезание куска 6 м
После того как мы отрезали кусок в 12 м, общая длина оставшегося провода составляет $25 - 12 = 13$ м. Пусть кусок в 12 м был отрезан от провода $L_1$ (длина которого была не менее 12 м). Тогда у нас остались части провода длиной $L_1 - 12$ и $L_2$. Предположим, что теперь невозможно отрезать кусок длиной 6 м. Это означает, что обе оставшиеся части провода короче 6 м. То есть, $L_1 - 12 < 6$ и $L_2 < 6$. Из этих неравенств следует, что $L_1 < 18$ м и $L_2 < 6$ м. Сложив их, получим: $L_1 + L_2 < 18 + 6 = 24$ м. Это снова противоречит условию $L_1 + L_2 = 25$ м. Значит, наше предположение неверно, и кусок в 6 м отрезать всегда возможно.

Шаг 3: Отрезание куска 3 м
Мы уже отрезали куски 12 м и 6 м. Общая длина оставшегося провода: $25 - 12 - 6 = 7$ м. Предположим, что невозможно отрезать кусок длиной 3 м. Это значит, что все оставшиеся части провода короче 3 м. Проверим, возможно ли это, рассмотрев два случая, как могли быть отрезаны первые два куска:
Случай А: Оба куска (12 м и 6 м) отрезаны от одного провода $L_1$. Тогда $L_1 \ge 18$. Оставшиеся части: $L_1 - 18$ и $L_2$. Наше предположение: $L_1 - 18 < 3$ и $L_2 < 3$, откуда $L_1 < 21$ и $L_2 < 3$, что дает в сумме $L_1 + L_2 < 24$. Противоречие.
Случай Б: Куски отрезаны от разных проводов (12 м от $L_1$, 6 м от $L_2$). Тогда $L_1 \ge 12$ и $L_2 \ge 6$. Оставшиеся части: $L_1 - 12$ и $L_2 - 6$. Наше предположение: $L_1 - 12 < 3$ и $L_2 - 6 < 3$, откуда $L_1 < 15$ и $L_2 < 9$, что дает в сумме $L_1 + L_2 < 24$. Противоречие.
В обоих случаях мы приходим к противоречию, значит, отрезать кусок 3 м всегда возможно.

Шаг 4: Отрезание куска 2 м
После отрезания 12 м, 6 м и 3 м, осталось $25 - 21 = 4$ м провода. Сумма длин отрезанных кусков $S=21$ м. Нужно отрезать кусок $r=2$ м. Предположим, что это невозможно. Это означает, что остатки от $L_1$ и $L_2$ меньше 2 м. Пусть от $L_1$ отрезали куски с общей длиной $s_1$, а от $L_2$ - с длиной $s_2$ (где $s_1+s_2=21$). Тогда $L_1 - s_1 < 2$ и $L_2 - s_2 < 2$. Сложив неравенства, получим $L_1+L_2 - (s_1+s_2) < 2+2$, или $25 - 21 < 4$, что означает $4 < 4$. Это ложное утверждение. Следовательно, предположение неверно и кусок 2 м отрезать можно.

Шаг 5: Отрезание куска 1 м
После отрезания 12, 6, 3 и 2 м, осталось $25 - 23 = 2$ м провода. Сумма длин отрезанных кусков $S=23$ м, следующий кусок $r=1$ м. По аналогии с предыдущим шагом, предположение о невозможности отрезать 1 м приводит к неравенству $25 - 23 < 1+1$, то есть $2 < 2$, что является ложным. Значит, кусок 1 м отрезать всегда можно.

Таким образом, мы доказали, что на каждом шаге можно отрезать следующий по величине кусок. Следовательно, электромонтёр сможет отрезать все необходимые для работы куски провода.

Ответ: Да, сможет.