Номер 191, страница 46 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Основное свойство дроби. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 191, страница 46.

Условие.

191. Укажите пропущенное значение числителя или знаменателя, при котором данная запись будет верной:

1) $\frac{1}{3} = \frac{\phantom{0}}{6} = \frac{\phantom{0}}{18} = \frac{7}{\phantom{0}};$

2) $\frac{2}{5} = \frac{6}{\phantom{0}} = \frac{\phantom{0}}{25} = \frac{28}{\phantom{0}};$

3) $\frac{6}{11} = \frac{\phantom{0}}{22} = \frac{30}{\phantom{0}} = \frac{36}{\phantom{0}};$

4) $\frac{13}{7} = \frac{26}{\phantom{0}} = \frac{\phantom{0}}{70} = \frac{104}{\phantom{0}};$

5) $\frac{80}{120} = \frac{\phantom{0}}{12} = \frac{\phantom{0}}{3} = \frac{10}{\phantom{0}};$

6) $\frac{30}{48} = \frac{\phantom{0}}{8} = \frac{10}{\phantom{0}} = \frac{15}{\phantom{0}}.$

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы найти пропущенные значения в равенстве $\frac{1}{3} = \frac{?}{6} = \frac{?}{18} = \frac{7}{?}$, воспользуемся основным свойством дроби.
Для первой дроби $\frac{?}{6}$: сравним ее с $\frac{1}{3}$. Знаменатель увеличился в $6 \div 3 = 2$ раза, значит, и числитель должен увеличиться в 2 раза: $1 \cdot 2 = 2$. Получаем $\frac{2}{6}$.
Для второй дроби $\frac{?}{18}$: сравним ее с $\frac{1}{3}$. Знаменатель увеличился в $18 \div 3 = 6$ раз, значит, и числитель должен увеличиться в 6 раз: $1 \cdot 6 = 6$. Получаем $\frac{6}{18}$.
Для третьей дроби $\frac{7}{?}$: сравним ее с $\frac{1}{3}$. Числитель увеличился в $7 \div 1 = 7$ раз, значит, и знаменатель должен увеличиться в 7 раз: $3 \cdot 7 = 21$. Получаем $\frac{7}{21}$.
Полная запись: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{6}{18} = \frac{7}{21}$.
Ответ: пропущены значения 2, 6, 21.

2) Чтобы найти пропущенные значения в равенстве $\frac{2}{5} = \frac{6}{?} = \frac{?}{25} = \frac{28}{?}$, воспользуемся основным свойством дроби.
Для первой дроби $\frac{6}{?}$: сравним ее с $\frac{2}{5}$. Числитель увеличился в $6 \div 2 = 3$ раза, значит, и знаменатель должен увеличиться в 3 раза: $5 \cdot 3 = 15$. Получаем $\frac{6}{15}$.
Для второй дроби $\frac{?}{25}$: сравним ее с $\frac{2}{5}$. Знаменатель увеличился в $25 \div 5 = 5$ раз, значит, и числитель должен увеличиться в 5 раз: $2 \cdot 5 = 10$. Получаем $\frac{10}{25}$.
Для третьей дроби $\frac{28}{?}$: сравним ее с $\frac{2}{5}$. Числитель увеличился в $28 \div 2 = 14$ раз, значит, и знаменатель должен увеличиться в 14 раз: $5 \cdot 14 = 70$. Получаем $\frac{28}{70}$.
Полная запись: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15} = \frac{10}{25} = \frac{28}{70}$.
Ответ: пропущены значения 15, 10, 70.

3) Чтобы найти пропущенные значения в равенстве $\frac{6}{11} = \frac{?}{22} = \frac{30}{?} = \frac{36}{?}$, воспользуемся основным свойством дроби.
Для первой дроби $\frac{?}{22}$: сравним ее с $\frac{6}{11}$. Знаменатель увеличился в $22 \div 11 = 2$ раза, значит, и числитель должен увеличиться в 2 раза: $6 \cdot 2 = 12$. Получаем $\frac{12}{22}$.
Для второй дроби $\frac{30}{?}$: сравним ее с $\frac{6}{11}$. Числитель увеличился в $30 \div 6 = 5$ раз, значит, и знаменатель должен увеличиться в 5 раз: $11 \cdot 5 = 55$. Получаем $\frac{30}{55}$.
Для третьей дроби $\frac{36}{?}$: сравним ее с $\frac{6}{11}$. Числитель увеличился в $36 \div 6 = 6$ раз, значит, и знаменатель должен увеличиться в 6 раз: $11 \cdot 6 = 66$. Получаем $\frac{36}{66}$.
Полная запись: $\frac{6}{11} = \frac{12}{22} = \frac{30}{55} = \frac{36}{66}$.
Ответ: пропущены значения 12, 55, 66.

4) Чтобы найти пропущенные значения в равенстве $\frac{13}{7} = \frac{26}{?} = \frac{?}{70} = \frac{104}{?}$, воспользуемся основным свойством дроби.
Для первой дроби $\frac{26}{?}$: сравним ее с $\frac{13}{7}$. Числитель увеличился в $26 \div 13 = 2$ раза, значит, и знаменатель должен увеличиться в 2 раза: $7 \cdot 2 = 14$. Получаем $\frac{26}{14}$.
Для второй дроби $\frac{?}{70}$: сравним ее с $\frac{13}{7}$. Знаменатель увеличился в $70 \div 7 = 10$ раз, значит, и числитель должен увеличиться в 10 раз: $13 \cdot 10 = 130$. Получаем $\frac{130}{70}$.
Для третьей дроби $\frac{104}{?}$: сравним ее с $\frac{13}{7}$. Числитель увеличился в $104 \div 13 = 8$ раз, значит, и знаменатель должен увеличиться в 8 раз: $7 \cdot 8 = 56$. Получаем $\frac{104}{56}$.
Полная запись: $\frac{13}{7} = \frac{26}{14} = \frac{130}{70} = \frac{104}{56}$.
Ответ: пропущены значения 14, 130, 56.

5) Дано равенство дробей: $\frac{80}{120} = \frac{?}{12} = \frac{?}{3} = \frac{10}{?}$. Сначала упростим исходную дробь $\frac{80}{120}$, разделив числитель и знаменатель на 10, а затем на 4 (или сразу на 40): $\frac{80}{120} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Будем использовать простейшую форму дроби $\frac{2}{3}$ для расчетов.
Для первой дроби $\frac{?}{12}$: сравним ее с $\frac{2}{3}$. Знаменатель увеличился в $12 \div 3 = 4$ раза, значит, и числитель должен увеличиться в 4 раза: $2 \cdot 4 = 8$. Получаем $\frac{8}{12}$.
Для второй дроби $\frac{?}{3}$: сравним ее с $\frac{2}{3}$. Знаменатели равны, значит, и числители равны: 2. Получаем $\frac{2}{3}$.
Для третьей дроби $\frac{10}{?}$: сравним ее с $\frac{2}{3}$. Числитель увеличился в $10 \div 2 = 5$ раз, значит, и знаменатель должен увеличиться в 5 раз: $3 \cdot 5 = 15$. Получаем $\frac{10}{15}$.
Полная запись: $\frac{80}{120} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} = \frac{10}{15}$.
Ответ: пропущены значения 8, 2, 15.

6) Дано равенство дробей: $\frac{30}{48} = \frac{?}{8} = \frac{10}{?} = \frac{15}{?}$. Сначала упростим исходную дробь $\frac{30}{48}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6: $\frac{30 \div 6}{48 \div 6} = \frac{5}{8}$. Будем использовать простейшую форму дроби $\frac{5}{8}$ для расчетов.
Для первой дроби $\frac{?}{8}$: сравним ее с $\frac{5}{8}$. Знаменатели равны, значит, и числители равны: 5. Получаем $\frac{5}{8}$.
Для второй дроби $\frac{10}{?}$: сравним ее с $\frac{5}{8}$. Числитель увеличился в $10 \div 5 = 2$ раза, значит, и знаменатель должен увеличиться в 2 раза: $8 \cdot 2 = 16$. Получаем $\frac{10}{16}$.
Для третьей дроби $\frac{15}{?}$: сравним ее с $\frac{5}{8}$. Числитель увеличился в $15 \div 5 = 3$ раза, значит, и знаменатель должен увеличиться в 3 раза: $8 \cdot 3 = 24$. Получаем $\frac{15}{24}$.
Полная запись: $\frac{30}{48} = \frac{5}{8} = \frac{10}{16} = \frac{15}{24}$.
Ответ: пропущены значения 5, 16, 24.