Номер 8, страница 277 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 8, страница 277.

Условие.

8. Что можно сказать о точках, имеющих противоположные абсциссы и противоположные ординаты?

Решение.

Решение 2.

Пусть дана некоторая точка $A$ на координатной плоскости с координатами $(x; y)$. Абсцисса этой точки равна $x$, а ордината равна $y$.

По условию задачи, другая точка, назовем ее $B$, имеет противоположную абсциссу и противоположную ординату. Противоположным числом для $x$ является $-x$, а для $y$ — $-y$. Следовательно, точка $B$ будет иметь координаты $(-x; -y)$.

Рассмотрим, как геометрически связаны точки $A(x; y)$ и $B(-x; -y)$. Такое преобразование, при котором обе координаты точки меняют свой знак на противоположный, является центральной симметрией относительно начала координат — точки $O(0; 0)$.

Чтобы доказать это, можно показать, что начало координат является серединой отрезка, соединяющего эти две точки. Найдем координаты точки $M$ — середины отрезка $AB$ — по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим координаты наших точек $A(x; y)$ и $B(-x; -y)$:
$x_M = \frac{x + (-x)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_M = \frac{y + (-y)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Координаты середины отрезка $AB$ равны $(0; 0)$, что совпадает с координатами начала координат. Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, и находятся на одинаковом расстоянии от него, но в противоположных направлениях.

Ответ: Такие точки симметричны относительно начала координат.