Номер 6.30, страница 103, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

42. Параллельные прямые. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.30, страница 103.

6.30. Развивай мышление. Постройте угол COD, который равен 40°. Отметьте точку А на стороне ОС так, что ОА = 3 см, и точку В на стороне OD так, что ОВ = 3 см. Проведите через точки А и В прямые, перпендикулярные сторонам OD и ОС. Обозначьте точку пересечения буквой М. Измерьте транспортиром углы СОМ и DOM. Сделайте предположение.

6.30

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{COD} = 40°; \angle \mathrm{COM} = 20°, \angle \mathrm{DOM} = 20° \\ \mathrm{OM} – \mathrm{биссектриса} \angle \mathrm{COD} \end{gathered}$$

Задача решается в несколько этапов: построение, измерение и выдвижение предположения, и, наконец, математическое доказательство этого предположения.

1. Построение

Выполним построение в соответствии с условием задачи:

1. С помощью транспортира строим угол $COD$, равный $40^\circ$.
2. На его сторонах, лучах $OC$ и $OD$, откладываем от вершины $O$ отрезки $OA = 3$ см и $OB = 3$ см.
3. Через точку $A$ (лежащую на $OC$) проводим прямую, перпендикулярную стороне $OD$.
4. Через точку $B$ (лежащую на $OD$) проводим прямую, перпендикулярную стороне $OC$.
5. Точку, в которой эти две прямые пересекаются, обозначаем буквой $M$.
6. Проводим луч $OM$.

2. Измерение и предположение

Вооружившись транспортиром и измерив полученные углы $COM$ и $DOM$, мы обнаружим, что они равны между собой:
$\angle COM \approx 20^\circ$
$\angle DOM \approx 20^\circ$

Исходя из результатов измерений, можно сделать предположение: луч $OM$ является биссектрисой угла $COD$, то есть делит его пополам.

3. Доказательство

Чтобы строго доказать наше предположение, воспользуемся геометрией.

Пусть прямая, проходящая через точку $A$ перпендикулярно $OD$, пересекает луч $OD$ в точке $P$. По построению, $\angle OPM = 90^\circ$.
Пусть прямая, проходящая через точку $B$ перпендикулярно $OC$, пересекает луч $OC$ в точке $Q$. По построению, $\angle OQM = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle OAP$ и $\triangle OBQ$.

• $\triangle OAP$ является прямоугольным ( $\angle OPA = 90^\circ$ по построению), с гипотенузой $OA = 3$ см и острым углом $\angle AOP = \angle COD = 40^\circ$.
• $\triangle OBQ$ является прямоугольным ( $\angle OQB = 90^\circ$ по построению), с гипотенузой $OB = 3$ см и острым углом $\angle BOQ = \angle COD = 40^\circ$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике найдем длины катетов $OP$ и $OQ$:
$OP = OA \cdot \cos(\angle AOP) = 3 \cdot \cos(40^\circ)$
$OQ = OB \cdot \cos(\angle BOQ) = 3 \cdot \cos(40^\circ)$
Так как правые части выражений равны, то и $OP = OQ$.

Теперь сравним треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$.

• Они оба прямоугольные ( $\angle OPM = 90^\circ$ и $\angle OQM = 90^\circ$).
• Сторона $OM$ у них общая, и она является их гипотенузой.
• Катеты $OP$ и $OQ$ равны, как мы только что доказали.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle POM = \angle QOM$.
Поскольку луч $OP$ совпадает с лучом $OD$, а луч $OQ$ — с лучом $OC$, то это равенство можно записать как $\angle DOM = \angle COM$.

Это доказывает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $COD$. Так как по условию $\angle COD = 40^\circ$, то:
$\angle COM = \angle DOM = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.
Таким образом, предположение, сделанное на основе измерений, полностью подтвердилось.

Ответ: Измерение транспортиром показывает, что углы $COM$ и $DOM$ равны $20^\circ$. Можно сделать предположение, что луч $OM$ является биссектрисой угла $COD$. Это предположение верно и доказывается через равенство прямоугольных треугольников $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$ по общей гипотенузе $OM$ и равным катетам $OP$ и $OQ$.