Вопросы в параграфе, страница 91, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Вопросы:

Изменятся ли корни уравнения при умножении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю?

Изменятся ли корни уравнения при делении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю?

Изменится ли знак слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую?

Какие уравнения называют линейными?

40. Решение уравнений

Вопросы к параграфу

• Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то полученное уравнение имеет те же корни, что и данное.

• Если обе части уравнения разделить на одно и то же число, не равное нулю, то полученное уравнение имеет те же корни, что и данное

• Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, то его знак изменится на противоположный.

• Уравнения вида ax = b, где а ≠ 0, называют линейным уравнением.

Изменятся ли корни уравнения при умножении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю?

Нет, корни уравнения не изменяются. Это одно из фундаментальных свойств равенств, которое называется равносильным преобразованием. Если у нас есть верное равенство (то есть левая часть равна правой), то, умножив обе части на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим новое, но по-прежнему верное равенство. Любое значение переменной, которое делало исходное уравнение верным, будет делать верным и преобразованное уравнение.

Рассмотрим пример. Пусть дано уравнение: $2x + 4 = 10$.
Легко видеть, что корнем этого уравнения является $x = 3$, так как $2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10$.
Теперь умножим обе части этого уравнения, например, на число 5:
$5 \cdot (2x + 4) = 5 \cdot 10$
Раскроем скобки:
$10x + 20 = 50$
Решим новое уравнение:
$10x = 50 - 20$
$10x = 30$
$x = 30 / 10$
$x = 3$
Как видим, корень уравнения остался прежним. Это справедливо для любого уравнения и любого ненулевого множителя.

Ответ: Нет, корни уравнения не изменятся.

Изменятся ли корни уравнения при делении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю?

Нет, корни уравнения также не изменятся. Деление обеих частей уравнения на ненулевое число — это такое же равносильное преобразование, как и умножение. Фактически, деление на число $c$ — это то же самое, что и умножение на число $\frac{1}{c}$. Поскольку $c \ne 0$, то и $\frac{1}{c}$ также не равно нулю, поэтому все свойства, описанные для умножения, сохраняются и для деления.

Рассмотрим пример. Пусть дано уравнение: $4x - 8 = 12$.
Решим его: $4x = 12 + 8$, $4x = 20$, $x = 5$. Корень уравнения — $x = 5$.
Теперь разделим обе части исходного уравнения на 4:
$(4x - 8) / 4 = 12 / 4$
Выполним деление каждого члена в левой части:
$x - 2 = 3$
Решим новое уравнение:
$x = 3 + 2$
$x = 5$
Корень уравнения не изменился.

Ответ: Нет, корни уравнения не изменятся.

Изменится ли знак слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую?

Да, изменится. Правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую гласит, что при переносе знак слагаемого меняется на противоположный (плюс на минус, а минус на плюс). Это правило является удобным сокращением для математической операции — прибавления к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитания из обеих частей одного и того же числа.

Рассмотрим, как это работает на примере уравнения $3x + 5 = 14$.
Наша цель — изолировать слагаемые с переменной $x$ в одной части. Для этого нам нужно "убрать" число 5 из левой части. Сделаем это, вычтя 5 из обеих частей уравнения:
$(3x + 5) - 5 = 14 - 5$
В левой части $5 - 5 = 0$, поэтому остается:
$3x = 14 - 5$
Если сравнить исходное уравнение $3x + 5 = 14$ с итоговым $3x = 14 - 5$, то видно, что слагаемое $+5$ из левой части "переместилось" в правую и стало слагаемым $-5$.

Ответ: Да, знак слагаемого при переносе в другую часть уравнения меняется на противоположный.

Какие уравнения называют линейными?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — это переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (называемые коэффициентами), причем коэффициент $a$ при переменной $x$ не должен быть равен нулю ($a \ne 0$).

Ключевая особенность линейных уравнений в том, что переменная в них всегда находится в первой степени. Многие уравнения, которые на первый взгляд не выглядят как $ax + b = 0$, могут быть сведены к этому виду с помощью равносильных преобразований (перенос слагаемых, приведение подобных, умножение/деление на число).

Примеры линейных уравнений:

• $5x - 15 = 0$ (здесь $a=5$, $b=-15$)
• $2x = 8$ (можно преобразовать в $2x - 8 = 0$, где $a=2$, $b=-8$)
• $\frac{x}{3} + 1 = 2$ (можно преобразовать в $\frac{1}{3}x - 1 = 0$, где $a=\frac{1}{3}$, $b=-1$)
• $7(x-2) = 3x$ (после раскрытия скобок и переноса слагаемых: $7x - 14 = 3x \implies 4x - 14 = 0$, где $a=4$, $b=-14$)

Уравнения вида $x^2 = 9$ или $\frac{5}{x} = 1$ не являются линейными, так как в них переменная находится не в первой степени.

Ответ: Уравнения вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числа, причем $a \ne 0$.