Номер 27.10, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{2}{|x|}$ на промежутке:

1) [2.4; 5];

2) [-2.4; -1];

3) [-3.5; -0.5];

4) [4; 12].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{2}{|x|}$ на заданных промежутках, необходимо проанализировать ее поведение на каждом из них. Функция не определена в точке $x=0$, но на всех указанных отрезках она непрерывна.

Общий подход заключается в исследовании монотонности функции. Поскольку функция $f(x)$ не имеет точек экстремума (производная нигде не равна нулю), ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом промежутке достигаются на его концах.

Рассмотрим поведение функции в зависимости от знака $x$:

• При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = \frac{2}{x}$. Эта функция является убывающей.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $f(x) = \frac{2}{-x}$. Эта функция является возрастающей.

Теперь решим задачу для каждого промежутка.

1) [2,4; 5]

Данный промежуток находится в области, где $x > 0$. Следовательно, на этом отрезке функция $f(x) = \frac{2}{x}$ является убывающей. Это означает, что наибольшее значение достигается в левой точке отрезка (с наименьшим значением $x$), а наименьшее — в правой (с наибольшим значением $x$).

Вычисляем значения на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(2,4) = \frac{2}{2,4} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(5) = \frac{2}{5}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{5}{6}$, наименьшее значение равно $\frac{2}{5}$.

2) [-2,4; -1]

Данный промежуток находится в области, где $x < 0$. Следовательно, на этом отрезке функция $f(x) = \frac{2}{-x}$ является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение достигается в левой точке отрезка (с наименьшим значением $x$), а наибольшее — в правой (с наибольшим значением $x$).

Вычисляем значения на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(-2,4) = \frac{2}{|-2,4|} = \frac{2}{2,4} = \frac{5}{6}$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(-1) = \frac{2}{|-1|} = \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $2$, наименьшее значение равно $\frac{5}{6}$.

3) [-3,5; -0,5]

Данный промежуток находится в области, где $x < 0$. Как и в предыдущем пункте, функция $f(x) = \frac{2}{-x}$ является возрастающей. Наименьшее значение будет в левой точке, а наибольшее — в правой.

Вычисляем значения на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(-3,5) = \frac{2}{|-3,5|} = \frac{2}{3,5} = \frac{2}{7/2} = \frac{4}{7}$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(-0,5) = \frac{2}{|-0,5|} = \frac{2}{0,5} = 4$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $4$, наименьшее значение равно $\frac{4}{7}$.

4) [4; 12]

Данный промежуток находится в области, где $x > 0$. Как и в первом пункте, функция $f(x) = \frac{2}{x}$ является убывающей. Наибольшее значение будет в левой точке, а наименьшее — в правой.

Вычисляем значения на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(12) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{1}{2}$, наименьшее значение равно $\frac{1}{6}$.