Номер 27.5, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.5. Имеет ли корни уравнение:

1) $ - \frac{5}{x} = 3x+2;$

2) $ - \frac{2,5}{x} = 5; $

3) $ \frac{4}{x} = -x; $

4) $ \frac{6}{x} = 4x - 3? $

1) Чтобы определить, имеет ли уравнение $\frac{5}{x} = 3x + 2$ корни, преобразуем его. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя: $5 = x(3x + 2)$ $5 = 3x^2 + 2x$ Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3x^2 + 2x - 5 = 0$ Теперь найдём дискриминант ($D$) этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=3$, $b=2$, $c=-5$: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$ Поскольку дискриминант $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны нулю, поэтому они входят в ОДЗ.

Ответ: да, имеет.

2) Рассмотрим уравнение $-\frac{2,5}{x} = 5$. ОДЗ: $x \neq 0$. Чтобы найти $x$, можно преобразовать уравнение. Умножим обе части на $x$: $-2,5 = 5x$ Разделим обе части на 5: $x = \frac{-2,5}{5}$ $x = -0,5$ Поскольку мы нашли конкретное значение $x$, которое удовлетворяет уравнению и не противоречит ОДЗ, у уравнения есть корень.

Ответ: да, имеет.

3) Рассмотрим уравнение $\frac{4}{x} = -x$. ОДЗ: $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$: $4 = -x \cdot x$ $4 = -x^2$ Умножим обе части на -1: $x^2 = -4$ Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

4) Рассмотрим уравнение $\frac{6}{x} = 4x - 3$. ОДЗ: $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$: $6 = x(4x - 3)$ $6 = 4x^2 - 3x$ Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения: $4x^2 - 3x - 6 = 0$ Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=-3$, $c=-6$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 9 + 96 = 105$ Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны нулю и входят в ОДЗ.

Ответ: да, имеет.