Номер 27.3, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.3. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

$y = \frac{2}{x}$; $y = \frac{4}{x}$; $y = -\frac{2}{x}$; $y = -\frac{4}{x}$; $y = \frac{0,5}{x}$.

Все представленные функции являются обратными пропорциональностями вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ - не равный нулю коэффициент. Графиком такой функции является гипербола, состоящая из двух ветвей. Асимптотами для всех этих графиков служат оси координат $Ox$ и $Oy$. Для построения графиков в одной координатной плоскости, необходимо для каждой функции вычислить координаты нескольких точек, нанести их на плоскость и соединить плавными линиями.

$y = \frac{2}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=2$. Так как $k > 0$, ветви графика расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений:

$y = \frac{4}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=4$. Так как $k > 0$, ветви графика расположены в I и III четвертях. Поскольку $|4| > |2|$, ветви этой гиперболы будут находиться дальше от осей координат, чем у графика $y = \frac{2}{x}$. Таблица значений:

$y = -\frac{2}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=-2$. Так как $k < 0$, ветви графика расположены во II и IV координатных четвертях. Этот график симметричен графику $y = \frac{2}{x}$ относительно начала координат. Таблица значений:

$y = -\frac{4}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=-4$. Так как $k < 0$, ветви графика расположены во II и IV четвертях. Поскольку $|-4| > |-2|$, ветви этой гиперболы будут находиться дальше от осей координат, чем у графика $y = -\frac{2}{x}$. Таблица значений:

$y = \frac{0.5}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=0.5$. Так как $k > 0$, ветви графика расположены в I и III четвертях. Поскольку $|0.5| < |2|$, ветви этой гиперболы будут находиться ближе к осям координат по сравнению с графиком $y = \frac{2}{x}$. Таблица значений:

Ответ: Для построения графиков в одной координатной плоскости необходимо для каждой функции вычислить значения $y$ для нескольких значений $x$, как показано в таблицах выше. Затем нанести полученные точки $(x, y)$ на координатную плоскость и соединить их плавными кривыми, не пересекающими оси координат. В результате получится пять гипербол.

Три гиперболы ($y = \frac{4}{x}$, $y = \frac{2}{x}$ и $y = \frac{0.5}{x}$) будут расположены в I и III координатных четвертях. Чем больше коэффициент $k$, тем дальше от начала координат расположен график. Таким образом, график $y = \frac{4}{x}$ будет самым дальним от осей, $y = \frac{0.5}{x}$ — самым ближним, а $y = \frac{2}{x}$ будет между ними.

Две другие гиперболы ($y = -\frac{4}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$) будут расположены во II и IV координатных четвертях. Чем больше модуль коэффициента $|k|$, тем дальше от осей расположен график. Поэтому график $y = -\frac{4}{x}$ будет дальше от осей, чем $y = -\frac{2}{x}$.

Графики с противоположными по знаку коэффициентами (например, $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$) симметричны друг другу относительно начала координат.