Проанализируй и ответь, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему при $k < 0$ множеством значений функции $y = \frac{k}{x}$ является множество чисел $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$?

Множество значений функции (или область значений) — это совокупность всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$. В нашем случае функция задана формулой $y = \frac{k}{x}$ при условии $k < 0$.

Чтобы найти множество значений, нужно понять, какие значения может принимать $y$, а какие — нет.

Во-первых, проанализируем, может ли $y$ быть равным нулю. Если предположить, что $y=0$, то уравнение примет вид $0 = \frac{k}{x}$. Это равенство может быть верным только в том случае, если числитель $k$ равен нулю. Однако по условию задачи $k < 0$, что означает $k \neq 0$. Мы получили противоречие. Следовательно, $y$ никогда не может быть равен нулю.

Во-вторых, выясним, может ли $y$ принимать любое другое, не равное нулю, значение. Обозначим это гипотетическое значение буквой $a$, где $a \neq 0$. Проверим, существует ли такой $x$, для которого выполняется равенство $y=a$:

$a = \frac{k}{x}$

Чтобы выразить $x$, умножим обе части на $x$ и разделим на $a$ (это можно сделать, так как $x \neq 0$ по определению функции, и $a \neq 0$ по нашему выбору):

$ax = k$

$x = \frac{k}{a}$

Поскольку $k$ — это ненулевое число (по условию $k < 0$) и $a$ — это любое выбранное нами ненулевое число, то для $x$ всегда найдется действительное значение. Это означает, что функция может принять любое значение $a \neq 0$.

Таким образом, мы установили, что $y$ может быть любым действительным числом, кроме нуля. Множество всех действительных чисел, за исключением нуля, записывается как объединение двух интервалов: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Условие $k<0$ конкретизирует поведение функции, но не меняет множества значений по сравнению со случаем $k>0$. При $k < 0$ :

1. Если $x > 0$ (положительный), то $y = \frac{k}{x}$ будет отрицательным (так как $\frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}} = \text{отрицательное}$). При этом $y$ принимает все значения из интервала $(-\infty; 0)$.

2. Если $x < 0$ (отрицательный), то $y = \frac{k}{x}$ будет положительным (так как $\frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} = \text{положительное}$). При этом $y$ принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$.

Объединение этих двух случаев и дает полное множество значений.

Ответ: Множество значений функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — это множество всех действительных чисел, кроме нуля. Это связано с тем, что, с одной стороны, не существует такого $x$, при котором дробь $\frac{k}{x}$ обращалась бы в ноль (поскольку $k \neq 0$). С другой стороны, для любого ненулевого числа $a$ всегда можно найти соответствующее значение $x = \frac{k}{a}$, при котором $y = a$. Множество всех действительных чисел, кроме нуля, записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.