Вопросы для закрепления, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как из гиперболы $y = \frac{1}{x}$ получить гиперболы: $y = -7 \cdot \frac{1}{x}$; $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$?

2. Как относительно друг друга расположены гиперболы $y = \frac{k}{x}$ и $y = -\frac{k}{x}$?

3. Объясните, почему начало координат является центром симметрии гиперболы вида $y = \frac{k}{x}$.

4. В каких координатных четвертях расположена гипербола: $y = \frac{11}{x}$; $y = -\frac{11}{x}$?

1. График функции $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола. Преобразования графика функции $y = \frac{1}{x}$ в графики $y = -7 \cdot \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$ можно описать с помощью растяжения/сжатия и отражения. Общий вид преобразования $y = a \cdot f(x)$.

Для получения гиперболы $y = -7 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{7}{x}$ из гиперболы $y = \frac{1}{x}$:

Здесь коэффициент преобразования $a = -7$. Это означает, что нужно выполнить два преобразования:

1) Растянуть график функции $y = \frac{1}{x}$ от оси Ox (вдоль оси Oy) в 7 раз, так как $|-7|=7$. Это преобразует каждую ординату $y$ в $7y$.

2) Отразить полученный график симметрично относительно оси Ox, так как коэффициент $a$ отрицательный. Это преобразует каждую ординату $y$ в $-y$.

В результате, каждая точка $(x, y)$ на графике $y=\frac{1}{x}$ переходит в точку $(x, -7y)$ на графике $y=-\frac{7}{x}$.

Для получения гиперболы $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{7x}$ из гиперболы $y = \frac{1}{x}$:

Здесь коэффициент преобразования $a = \frac{1}{7}$. Так как $0 < \frac{1}{7} < 1$, нужно сжать график функции $y = \frac{1}{x}$ к оси Ox (вдоль оси Oy) в 7 раз. Каждая ордината графика $y = \frac{1}{x}$ умножается на коэффициент $\frac{1}{7}$.

Ответ: Чтобы получить гиперболу $y = -7 \cdot \frac{1}{x}$, нужно график гиперболы $y = \frac{1}{x}$ растянуть в 7 раз вдоль оси Oy и затем отразить относительно оси Ox. Чтобы получить гиперболу $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$, нужно график гиперболы $y = \frac{1}{x}$ сжать в 7 раз вдоль оси Oy.

2. Рассмотрим две гиперболы: $y = \frac{k}{x}$ и $y = -\frac{k}{x}$.

Вторую функцию можно получить из первой, умножив на $-1$. То есть, если $f(x) = \frac{k}{x}$, то вторая функция — это $g(x) = -f(x) = -\frac{k}{x}$.

Преобразование $g(x) = -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика функции $f(x)$ относительно оси абсцисс (Ox).

Также второе уравнение можно записать как $y = \frac{k}{-x}$. То есть $g(x) = f(-x)$. Преобразование $g(x) = f(-x)$ соответствует симметричному отражению графика функции $f(x)$ относительно оси ординат (Oy).

Таким образом, графики этих гипербол симметричны друг другу относительно обеих координатных осей.

Ответ: Гиперболы $y = \frac{k}{x}$ и $y = -\frac{k}{x}$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс (Ox) и относительно оси ординат (Oy).

3. Центральная симметрия фигуры относительно точки (центра симметрии) означает, что для любой точки фигуры точка, симметричная ей относительно центра, также принадлежит этой фигуре.

Для графика функции центром симметрии является начало координат $O(0, 0)$, если для любой точки $A(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, точка $B(-x_0, -y_0)$, симметричная ей относительно начала координат, также принадлежит этому графику.

Рассмотрим гиперболу вида $y = \frac{k}{x}$.

Пусть точка $A(x_0, y_0)$ лежит на этой гиперболе. Это значит, что её координаты удовлетворяют уравнению: $y_0 = \frac{k}{x_0}$.

Теперь проверим, лежит ли на графике точка $B(-x_0, -y_0)$. Для этого подставим её координаты в уравнение гиперболы:

$y = \frac{k}{x} \implies -y_0 = \frac{k}{-x_0}$

Умножим обе части равенства на $-1$:

$y_0 = \frac{k}{x_0}$

Мы получили исходное верное равенство. Это означает, что точка $B(-x_0, -y_0)$ также удовлетворяет уравнению гиперболы и, следовательно, лежит на ней.

Это доказывает, что начало координат является центром симметрии данной гиперболы.

Ответ: Начало координат является центром симметрии гиперболы $y = \frac{k}{x}$, так как для любой точки $(x_0, y_0)$ на гиперболе, точка $(-x_0, -y_0)$, симметричная ей относительно начала координат, также находится на гиперболе.

4. Расположение ветвей гиперболы $y = \frac{k}{x}$ на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$. Из уравнения $y = \frac{k}{x}$ следует, что $xy = k$.

Координатные четверти определяются знаками координат $x$ и $y$:

I четверть: $x > 0$, $y > 0$.

II четверть: $x < 0$, $y > 0$.

III четверть: $x < 0$, $y < 0$.

IV четверть: $x > 0$, $y < 0$.

Для гиперболы $y = \frac{11}{x}$:

Здесь $k = 11$, то есть $k > 0$.

Произведение $xy = 11$ является положительным. Это возможно только в том случае, когда $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки:

• если $x > 0$, то и $y > 0$ (I четверть);

• если $x < 0$, то и $y < 0$ (III четверть).

Для гиперболы $y = -\frac{11}{x}$:

Здесь $k = -11$, то есть $k < 0$.

Произведение $xy = -11$ является отрицательным. Это возможно только в том случае, когда $x$ и $y$ имеют разные знаки:

• если $x < 0$, то $y > 0$ (II четверть);

• если $x > 0$, то $y < 0$ (IV четверть).

Ответ: Гипербола $y = \frac{11}{x}$ расположена в I и III координатных четвертях. Гипербола $y = -\frac{11}{x}$ расположена во II и IV координатных четвертях.