Проанализируй и ответь, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему значение функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, не может быть равно нулю?

Существует несколько способов это доказать.

Алгебраическое доказательство (методом от противного)

Предположим, что значение функции $y$ может быть равно нулю. То есть, существует такое значение $x$, при котором $y = 0$. Подставим это значение в уравнение функции: $0 = \frac{k}{x}$ Поскольку по определению функции $y = \frac{k}{x}$ знаменатель $x$ не может быть равен нулю ($x \neq 0$), мы можем умножить обе части равенства на $x$: $0 \cdot x = \frac{k}{x} \cdot x$ $0 = k$ Однако, это равенство ($k=0$) прямо противоречит начальному условию задачи, где указано, что $k \neq 0$. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $y$ может быть равен нулю, является неверным.

Ответ: Предположение о том, что $y=0$, приводит к выводу, что $k=0$, что противоречит условию $k \neq 0$.

Объяснение через свойства дроби

Функция $y = \frac{k}{x}$ представляет собой дробь, где $k$ — числитель, а $x$ — знаменатель. Основное правило гласит: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. В нашем случае числитель — это $k$. По условию задачи, $k$ не равно нулю ($k \neq 0$). Поскольку числитель этой дроби по определению никогда не бывает равен нулю, то и значение всей дроби (то есть значение функции $y$) никогда не может быть равно нулю.

Ответ: Значение функции, представленной в виде дроби $\frac{k}{x}$, не может быть равно нулю, так как её числитель $k$ по условию не равен нулю.

Геометрическое объяснение

График функции $y = \frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$) называется гиперболой. Эта гипербола имеет горизонтальную асимптоту — прямую, к которой график функции бесконечно приближается, но никогда не пересекает. Для функции $y = \frac{k}{x}$ такой асимптотой является ось абсцисс (ось Ox). Уравнение оси абсцисс — $y = 0$. Поскольку график функции никогда не пересекает свою асимптоту $y=0$, это означает, что значение функции никогда не может быть равным нулю.

Ответ: Ось Ox, описываемая уравнением $y=0$, является горизонтальной асимптотой для графика функции $y = \frac{k}{x}$, поэтому график никогда не пересекает эту ось и значение функции никогда не равно нулю.