Номер 26.10, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3$ на промежутке:

1) $[-2;5];$

2) $[-1;-0,5];$

3) $[-3; 3,5].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Дана функция $y = 2x^3$.

1. Найдем производную функции: $y' = (2x^3)' = 6x^2$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $6x^2 = 0$, откуда следует, что $x = 0$. Таким образом, у функции есть одна критическая точка $x=0$.

1) На промежутке $[-2; 5]$

Критическая точка $x=0$ принадлежит данному промежутку. Вычислим значения функции на концах промежутка и в критической точке:

$y(-2) = 2 \cdot (-2)^3 = 2 \cdot (-8) = -16$.

$y(0) = 2 \cdot 0^3 = 0$.

$y(5) = 2 \cdot 5^3 = 2 \cdot 125 = 250$.

Сравнивая полученные значения $\{-16, 0, 250\}$, находим, что наименьшее значение функции на данном промежутке равно $-16$, а наибольшее — $250$.

Ответ: наименьшее значение $-16$, наибольшее значение $250$.

2) На промежутке $[-1; -0,5]$

Критическая точка $x=0$ не принадлежит данному промежутку. Следовательно, вычисляем значения функции только на концах промежутка:

$y(-1) = 2 \cdot (-1)^3 = 2 \cdot (-1) = -2$.

$y(-0,5) = 2 \cdot (-0,5)^3 = 2 \cdot (-0,125) = -0,25$.

Сравнивая полученные значения $\{-2, -0,25\}$, находим, что наименьшее значение равно $-2$, а наибольшее — $-0,25$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $-0,25$.

3) На промежутке $[-3; 3,5]$

Критическая точка $x=0$ принадлежит данному промежутку. Вычислим значения функции на концах промежутка и в критической точке:

$y(-3) = 2 \cdot (-3)^3 = 2 \cdot (-27) = -54$.

$y(0) = 2 \cdot 0^3 = 0$.

$y(3,5) = 2 \cdot (3,5)^3 = 2 \cdot 42,875 = 85,75$.

Сравнивая полученные значения $\{-54, 0, 85,75\}$, находим, что наименьшее значение равно $-54$, а наибольшее — $85,75$.

Ответ: наименьшее значение $-54$, наибольшее значение $85,75$.