Номер 26.5, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.5. Имеет ли корни уравнение:

1) $x^3 = 2x + 1$;

2) $2x^3 = -3x$;

3) $0,4x + 2 = x^3$;

4) $-1,2x - 1 = x^3$?

1) Перепишем уравнение в виде $x^3 - 2x - 1 = 0$. Для ответа на вопрос достаточно проверить, существуют ли такие значения $x$, при которых это равенство выполняется. Проверим целые числа. Подставим $x = -1$:

$(-1)^3 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$.

Равенство $0=0$ является верным, следовательно, $x = -1$ является корнем данного уравнения. Так как мы нашли хотя бы один корень, можно утверждать, что уравнение имеет корни.

Ответ: да, имеет.

2) Перенесем все члены уравнения в левую часть и приравняем к нулю:

$2x^3 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x^2 + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1. $x = 0$

2. $2x^2 + 3 = 0 \implies 2x^2 = -3 \implies x^2 = -1.5$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, исходное уравнение имеет один действительный корень $x=0$.

Ответ: да, имеет.

3) Перепишем уравнение в виде $x^3 - 0.4x - 2 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 0.4x - 2$. Эта функция является многочленом, поэтому она непрерывна на всей числовой прямой. Чтобы доказать, что уравнение имеет корень, достаточно показать, что функция $f(x)$ принимает значения как положительного, так и отрицательного знака. Найдем значения функции в нескольких точках:

$f(1) = 1^3 - 0.4 \cdot 1 - 2 = 1 - 0.4 - 2 = -1.4$

$f(2) = 2^3 - 0.4 \cdot 2 - 2 = 8 - 0.8 - 2 = 5.2$

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[1, 2]$ и на его концах принимает значения разных знаков ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), то по теореме о промежуточных значениях на интервале $(1, 2)$ существует по крайней мере один корень.

Ответ: да, имеет.

4) Перепишем уравнение в виде $x^3 + 1.2x + 1 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 1.2x + 1$. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Найдем значения функции в некоторых точках:

$f(0) = 0^3 + 1.2 \cdot 0 + 1 = 1$

$f(-1) = (-1)^3 + 1.2 \cdot (-1) + 1 = -1 - 1.2 + 1 = -1.2$

Так как функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1, 0]$ и на его концах принимает значения разных знаков ($f(-1) < 0$ и $f(0) > 0$), то согласно теореме о промежуточных значениях, на интервале $(-1, 0)$ существует по крайней мере один корень уравнения.

Ответ: да, имеет.