Задания, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Таблица 26.2

$\text{x}$ -2 -1 $-\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ 1 2

$y = 2x^3$ -16 -2 $-\frac{1}{4}$ 0 $\frac{1}{4}$ 2 16

$y = -2x^3$ 16 2 $\frac{1}{4}$ 0 $-\frac{1}{4}$ -2 -16

1) Используя таблицу 26.2, самостоятельно постройте графики функций $y = 2x^3$ и $y = -2x^3$.

2) Заполните таблицу 26.3. При одних и тех же значениях аргумента сравните соответствующие значения функций:

1) $y = 2x^3$ и $y = x^3$;

2) $y = \frac{1}{2} x^3$ и $y = x^3$.

Таблица 26.3

$\text{x}$ -4 -2 -1 $-\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ 1 2 4

$y = 2x^3$

$y = x^3$

$y = \frac{1}{2} x^3$

1) Используя таблицу 26.2, самостоятельно постройте графики функций $y = 2x^3$ и $y = -2x^3$.

Для построения графиков функций $y = 2x^3$ и $y = -2x^3$ воспользуемся точками из таблицы 26.2.

Точки для графика $y = 2x^3$: $(-2, -16)$, $(-1, -2)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$, $(0, 0)$, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $(1, 2)$, $(2, 16)$.

Точки для графика $y = -2x^3$: $(-2, 16)$, $(-1, 2)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $(0, 0)$, $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$, $(1, -2)$, $(2, -16)$.

Наносим эти точки на координатную плоскость и соединяем их плавными линиями. Оба графика представляют собой кубические параболы, проходящие через начало координат.

График функции $y = 2x^3$ расположен в I и III координатных четвертях. Он является результатом растяжения графика $y = x^3$ вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза.

График функции $y = -2x^3$ расположен во II и IV координатных четвертях. Он симметричен графику $y = 2x^3$ относительно оси абсцисс (оси OX).

Ответ: Графики строятся по точкам из таблицы 26.2. График $y=2x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через точки $(-2, -16), (-1, -2), (0,0), (1,2), (2,16)$. График $y=-2x^3$ — это кубическая парабола, симметричная первой относительно оси ОХ и проходящая через точки $(-2, 16), (-1, 2), (0,0), (1,-2), (2,-16)$.

2) Заполните таблицу 26.3. При одних и тех же значениях аргумента сравните соответствующие значения функций: 1) $y = 2x^3$ и $y = x^3$; 2) $y = \frac{1}{2}x^3$ и $y = x^3$.

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения функций $y = 2x^3$, $y = x^3$ и $y = \frac{1}{2}x^3$ для каждого заданного значения $x$.

Например, для $x = -4$:

$y = 2x^3 = 2 \cdot (-4)^3 = 2 \cdot (-64) = -128$

$y = x^3 = (-4)^3 = -64$

$y = \frac{1}{2}x^3 = \frac{1}{2} \cdot (-4)^3 = \frac{1}{2} \cdot (-64) = -32$

Проводя аналогичные вычисления для остальных значений $x$, получаем заполненную таблицу:

Теперь сравним значения функций.

1) $y = 2x^3$ и $y = x^3$

Анализируя значения в строках для $y = 2x^3$ и $y = x^3$, можно заметить, что для любого $x$ из таблицы значение $2x^3$ ровно в два раза больше значения $x^3$. Это верно для всех значений $x$, так как $2x^3 = 2 \cdot (x^3)$.

Ответ: При любом значении аргумента $x$ значение функции $y = 2x^3$ в 2 раза больше соответствующего значения функции $y = x^3$.

2) $y = \frac{1}{2}x^3$ и $y = x^3$

Сравнивая значения в строках для $y = \frac{1}{2}x^3$ и $y = x^3$, мы видим, что для любого $x$ из таблицы значение $\frac{1}{2}x^3$ ровно в два раза меньше (или составляет половину) значения $x^3$. Это верно для всех значений $x$, так как $\frac{1}{2}x^3 = \frac{1}{2} \cdot (x^3)$.

Ответ: При любом значении аргумента $x$ значение функции $y = \frac{1}{2}x^3$ в 2 раза меньше соответствующего значения функции $y = x^3$.