Вопросы для закрепления, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как из кубической параболы $y = x^3$ получить кубическую параболу: $y = -7x^3$; $y = \frac{1}{7}x^3$?

2. Как относительно друг друга расположены кубические параболы $y = 5x^3$ и $y = -5x^3$?

3. Объясните, почему начало координат является центром симметрии кубической параболы вида $y = ax^3$.

4. В каких координатных четвертях расположена кубическая парабола: $y=7x^3$; $y=-7x^3$?

1. Чтобы из графика кубической параболы $y = x^3$ получить график кубической параболы $y = -7x^3$, необходимо выполнить два преобразования. Во-первых, растянуть график $y = x^3$ от оси абсцисс (оси Ox) в 7 раз. Это преобразование изменяет каждую ординату $y$ на $7y$, что дает нам график функции $y = 7x^3$. Во-вторых, необходимо отразить полученный график $y = 7x^3$ симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox). Это преобразование меняет знак каждой ординаты, что и дает итоговый график $y = -7x^3$.

Чтобы получить график кубической параболы $y = \frac{1}{7}x^3$ из графика $y = x^3$, необходимо сжать график $y = x^3$ к оси абсцисс (оси Ox) в 7 раз. Это означает, что каждая ордината $y$ исходного графика умножается на коэффициент $\frac{1}{7}$.

Ответ: Для получения $y = -7x^3$ нужно выполнить растяжение графика $y = x^3$ от оси Ox в 7 раз и затем симметрично отразить его относительно оси Ox. Для получения $y = \frac{1}{7}x^3$ нужно выполнить сжатие графика $y = x^3$ к оси Ox в 7 раз.

2. Графики кубических парабол $y = 5x^3$ и $y = -5x^3$ симметричны друг другу. Рассмотрим произвольную точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = 5x^3$. Это значит, что $y_0 = 5x_0^3$.

Точка, симметричная ей относительно оси абсцисс (оси Ox), имеет координаты $(x_0, -y_0)$. Подставив $x=x_0$ в уравнение второго графика, получим $y = -5x_0^3$. Так как $y_0 = 5x_0^3$, то $y = -y_0$. Это доказывает, что точка $(x_0, -y_0)$ лежит на графике $y = -5x^3$. Следовательно, графики симметричны относительно оси Ox.

Точка, симметричная $(x_0, y_0)$ относительно оси ординат (оси Oy), имеет координаты $(-x_0, y_0)$. Подставив $x=-x_0$ в уравнение второго графика, получим $y = -5(-x_0)^3 = -5(-x_0^3) = 5x_0^3$. Так как $y_0 = 5x_0^3$, то $y = y_0$. Это доказывает, что точка $(-x_0, y_0)$ лежит на графике $y = -5x^3$. Следовательно, графики также симметричны относительно оси Oy.

Ответ: Графики кубических парабол $y = 5x^3$ и $y = -5x^3$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс (Ox) и оси ординат (Oy).

3. Центр симметрии графика функции – это точка, относительно которой график симметричен. Для того чтобы начало координат $(0, 0)$ было центром симметрии графика функции $y = f(x)$, для любой точки $(x, y)$ на графике точка $(-x, -y)$ также должна лежать на этом графике. Это равносильно тому, что функция является нечетной, то есть удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Рассмотрим функцию $f(x) = ax^3$. Найдем значение функции в точке $-x$: $f(-x) = a(-x)^3 = a(-1 \cdot x)^3 = a((-1)^3 x^3) = a(-1)x^3 = -ax^3$.

С другой стороны, $-f(x) = -(ax^3) = -ax^3$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = ax^3$ является нечетной. График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ: Начало координат является центром симметрии кубической параболы $y = ax^3$, потому что это нечетная функция, для которой выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, что является определением центральной симметрии относительно точки $(0, 0)$.

4. Для определения расположения графика в координатных четвертях необходимо проанализировать знаки переменных $x$ и $y$.

Для кубической параболы $y = 7x^3$:

- Если $x > 0$ (I и IV четверти), то $x^3 > 0$, и $y = 7x^3 > 0$. Значит, график находится в I координатной четверти (где $x>0, y>0$).

- Если $x < 0$ (II и III четверти), то $x^3 < 0$, и $y = 7x^3 < 0$. Значит, график находится в III координатной четверти (где $x<0, y<0$).

Для кубической параболы $y = -7x^3$:

- Если $x > 0$ (I и IV четверти), то $x^3 > 0$, и $y = -7x^3 < 0$. Значит, график находится в IV координатной четверти (где $x>0, y<0$).

- Если $x < 0$ (II и III четверти), то $x^3 < 0$, и $y = -7x^3 > 0$. Значит, график находится во II координатной четверти (где $x<0, y>0$).

Ответ: Парабола $y = 7x^3$ расположена в I и III координатных четвертях. Парабола $y = -7x^3$ расположена во II и IV координатных четвертях.