Номер 26.3, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.3. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = x^3$, $y = 5x^3$, $y = \frac{1}{4}x^3$, $y = 4x^3$;

2) $y = -5x^3$, $y = -\frac{1}{4}x^3$, $y = -4x^3$, $y = -\frac{1}{2}x^3$.

1) Для построения графиков функций $y = x^3$, $y = 5x^3$, $y = \frac{1}{4}x^3$ и $y = 4x^3$ в одной координатной плоскости, заметим, что все они являются вариациями функции вида $y = kx^3$ с коэффициентом $k > 0$. График такой функции называется кубической параболой.

Основные свойства этих функций:

• Область определения и область значений — все действительные числа.
• Графики проходят через начало координат $(0, 0)$.
• Функции являются нечетными ($f(-x) = -f(x)$), поэтому их графики симметричны относительно начала координат.
• Поскольку $k > 0$, графики расположены в I и III координатных четвертях.
• Функции возрастают на всей области определения.

Коэффициент $k$ влияет на "крутизну" графика. График функции $y=kx^3$ получается из графика базовой функции $y=x^3$ путем растяжения (если $|k|>1$) или сжатия (если $0<|k|<1$) вдоль оси ординат ($Oy$).

Построим графики по точкам. Для этого составим таблицу значений для каждой функции:

Порядок построения:

1. Сначала строим график базовой функции $y = x^3$, используя точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$ и соединяя их плавной линией.
2. График $y = 5x^3$ получается растяжением графика $y=x^3$ от оси $Ox$ в 5 раз. Он будет самым "крутым", то есть ближе всего к оси $Oy$ при $x \ne 0$. Например, точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$ перейдут в $(1, 5)$ и $(-1, -5)$.
3. График $y = 4x^3$ получается растяжением графика $y=x^3$ от оси $Ox$ в 4 раза. Он будет менее крутым, чем $y=5x^3$, но круче, чем $y=x^3$. Точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$ перейдут в $(1, 4)$ и $(-1, -4)$.
4. График $y = \frac{1}{4}x^3$ получается сжатием графика $y=x^3$ к оси $Ox$ в 4 раза. Он будет самым "пологим", то есть дальше всего от оси $Oy$. Точки $(1, 1)$ и $(2, 8)$ перейдут в $(1, 0.25)$ и $(2, 2)$.

В результате все четыре графика пересекутся в точке $(0, 0)$. При $x > 0$ график $y=5x^3$ будет лежать выше всех, затем $y=4x^3$, затем $y=x^3$ и ниже всех $y=\frac{1}{4}x^3$. При $x < 0$ порядок будет обратным.

Ответ: Построены графики четырех кубических парабол, проходящих через начало координат и расположенных в I и III четвертях. Графики $y=5x^3$ и $y=4x^3$ получены растяжением графика $y=x^3$ вдоль оси $Oy$ и являются более "крутыми". График $y=\frac{1}{4}x^3$ получен сжатием графика $y=x^3$ к оси $Ox$ и является более "пологим".

2) Для построения графиков функций $y = -5x^3$, $y = -\frac{1}{4}x^3$, $y = -4x^3$ и $y = -\frac{1}{2}x^3$ в одной координатной плоскости, отметим, что все они являются функциями вида $y = kx^3$ с коэффициентом $k < 0$.

Основные свойства этих функций:

• Область определения и область значений — все действительные числа.
• Графики проходят через начало координат $(0, 0)$.
• Функции являются нечетными ($f(-x) = -f(x)$), поэтому их графики симметричны относительно начала координат.
• Поскольку $k < 0$, графики расположены во II и IV координатных четвертях.
• Функции убывают на всей области определения.

График функции $y = kx^3$ при $k < 0$ можно получить из графика функции $y = |k|x^3$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). "Крутизна" графика зависит от абсолютного значения коэффициента $|k|$.

Сравним коэффициенты по модулю: $|-5| = 5$, $|-4| = 4$, $|-\frac{1}{2}| = 0.5$, $|-\frac{1}{4}| = 0.25$.

Составим таблицу значений для построения графиков:

Порядок построения:

1. Все графики являются кубическими параболами, симметричными относительно начала координат и расположенными во II и IV четвертях.
2. График $y = -5x^3$ является самым "крутым" (ближе всего к оси $Oy$). Его можно получить, отразив график $y=5x^3$ из предыдущего задания относительно оси $Ox$. Ключевые точки: $(1, -5)$, $(-1, 5)$.
3. График $y = -4x^3$ также является "крутым", но менее, чем $y=-5x^3$. Ключевые точки: $(1, -4)$, $(-1, 4)$.
4. График $y = -\frac{1}{2}x^3$ более "пологий". Ключевые точки: $(1, -0.5)$, $(-1, 0.5)$, $(2, -4)$.
5. График $y = -\frac{1}{4}x^3$ является самым "пологим" (дальше всего от оси $Oy$). Ключевые точки: $(1, -0.25)$, $(-1, 0.25)$, $(2, -2)$.

Все четыре графика пересекаются в точке $(0, 0)$. При $x > 0$ (IV четверть) график $y=-5x^3$ будет лежать ниже всех, а $y=-\frac{1}{4}x^3$ — выше всех (ближе к оси $Ox$). При $x < 0$ (II четверть) порядок будет обратным: график $y=-5x^3$ будет лежать выше всех, а $y=-\frac{1}{4}x^3$ — ниже всех (ближе к оси $Ox$).

Ответ: Построены графики четырех кубических парабол, проходящих через начало координат и расположенных во II и IV четвертях. Все графики являются отражением соответствующих графиков с положительными коэффициентами ($y=5x^3, y=4x^3, y=\frac{1}{2}x^3, y=\frac{1}{4}x^3$) относительно оси $Ox$. "Крутизна" графика определяется модулем коэффициента $k$: чем больше $|k|$, тем ближе график к оси $Oy$.