Номер 26.7, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.7. С помощью программы GeoGebra определите, пересекаются ли графики функции $y = -0.4x^3$ и $y = -0.3x + 5?$

Чтобы определить, пересекаются ли графики функций $y = -0,4x^3$ и $y = -0,3x + 5$, необходимо найти, существуют ли такие значения $x$, при которых значения $y$ для обеих функций совпадают. Это эквивалентно поиску действительных решений уравнения:

$-0,4x^3 = -0,3x + 5$

В соответствии с условием задачи, используем программу GeoGebra для графического решения, а затем подтвердим результат аналитически.

1. Графический способ (с использованием GeoGebra)

Для решения задачи с помощью GeoGebra необходимо выполнить следующие шаги:

1. Откройте программу GeoGebra (или ее веб-версию).
2. В строке ввода введите уравнение первой функции: y = -0.4x^3 и нажмите Enter. На координатной плоскости будет построен график кубической функции.
3. В строке ввода введите уравнение второй функции: y = -0.3x + 5 и нажмите Enter. На той же плоскости будет построена прямая.
4. Визуально можно увидеть, что графики пересекаются в одной точке в левой полуплоскости (где $x < 0$).
5. Чтобы найти точные координаты, можно использовать инструмент «Пересечение». Выберите этот инструмент, а затем кликните по обоим графикам. GeoGebra отметит точку пересечения и покажет ее координаты. В данном случае программа найдет одну точку пересечения $A \approx (-2.43, 5.73)$.

Наличие точки пересечения означает, что графики данных функций пересекаются.

2. Аналитический способ

Для аналитического подтверждения необходимо выяснить, имеет ли уравнение $-0,4x^3 = -0,3x + 5$ действительные корни.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-0,4x^3 + 0,3x - 5 = 0$

Чтобы упростить уравнение, умножим обе его части на $-10$:

$4x^3 - 3x + 50 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = 4x^3 - 3x + 50$. Вопрос о пересечении графиков сводится к вопросу о существовании нулей у функции $f(x)$. Исследуем функцию с помощью производной.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x^3 - 3x + 50)' = 12x^2 - 3$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$12x^2 - 3 = 0$

$12x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Критические точки: $x_1 = -0,5$ и $x_2 = 0,5$.

Определим значения функции в этих точках, чтобы найти локальные экстремумы:

• $f(-0,5) = 4(-0,5)^3 - 3(-0,5) + 50 = 4(-0,125) + 1,5 + 50 = -0,5 + 1,5 + 50 = 51$ (локальный максимум).
• $f(0,5) = 4(0,5)^3 - 3(0,5) + 50 = 4(0,125) - 1,5 + 50 = 0,5 - 1,5 + 50 = 49$ (локальный минимум).

Теперь рассмотрим поведение функции на бесконечности:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (4x^3) = -\infty$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (4x^3) = +\infty$

Функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой оси. На промежутке $(-\infty; -0,5]$ она возрастает от $-\infty$ до $51$. Поскольку функция меняет знак с «-» на «+», она пересекает ось абсцисс ровно один раз на этом интервале. На промежутке $[-0,5; 0,5]$ функция убывает от $51$ до $49$, оставаясь положительной. На промежутке $[0,5; +\infty)$ функция возрастает от $49$ до $+\infty$, также оставаясь положительной.

Таким образом, уравнение $4x^3 - 3x + 50 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Это означает, что графики функций $y = -0,4x^3$ и $y = -0,3x + 5$ пересекаются ровно в одной точке.

Ответ: да, графики функций пересекаются.