Номер 26.9, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.9. Сколько точек пересечения имеют графики функций $y = ax^2$ и $y = bx^3$, если:

1) $a = 3,$ $b = 2$;

2) $a = -3,$ $b = 0,2$;

3) $a = 0,2,$ $b = -0,2$;

4) $a = -4,$ $b = -2$?

Чтобы найти количество точек пересечения графиков функций $y = ax^2$ и $y = bx^3$, необходимо найти количество действительных решений уравнения, которое получится, если приравнять правые части этих функций:

$ax^2 = bx^3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и вынесем общий множитель за скобки:

$bx^3 - ax^2 = 0$

$x^2(bx - a) = 0$

Данное уравнение имеет два возможных решения для $x$:

1. $x^2 = 0$, что дает корень $x_1 = 0$.

2. $bx - a = 0$, что дает корень $x_2 = a/b$ (это возможно, так как во всех вариантах $b \neq 0$).

Поскольку во всех предложенных вариантах $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то корень $x_2 = a/b$ не равен нулю. Таким образом, мы всегда получаем два различных действительных корня. Это означает, что графики функций будут иметь две точки пересечения.

Проверим это для каждого конкретного случая.

1) a = 3, b = 2;

Получаем уравнение $3x^2 = 2x^3$.

$2x^3 - 3x^2 = 0$

$x^2(2x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3/2 = 1,5$.

Уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: 2.

2) a = -3, b = 0,2;

Получаем уравнение $-3x^2 = 0,2x^3$.

$0,2x^3 + 3x^2 = 0$

$x^2(0,2x + 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $0,2x = -3 \implies x_2 = -15$.

Уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: 2.

3) a = 0,2, b = -0,2;

Получаем уравнение $0,2x^2 = -0,2x^3$.

$0,2x^3 + 0,2x^2 = 0$

$0,2x^2(x + 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.

Уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: 2.

4) a = -4, b = -2?

Получаем уравнение $-4x^2 = -2x^3$.

$2x^3 - 4x^2 = 0$

$2x^2(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$.

Уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: 2.