Вопрос критерии успеха, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Какими свойствами обладает функция вида $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ и как построить ее график?

Функция вида $y = \frac{k}{x}$ (где $k$ - число, не равное нулю) называется обратной пропорциональностью. Ее график — гипербола, состоящая из двух ветвей.

Какими свойствами обладает функция вида $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$

1. Область определения функции $D(y)$: все действительные числа, кроме $x = 0$. Записывается как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений функции $E(y)$: все действительные числа, кроме $y = 0$. Записывается как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$).

4. Пересечение с осями координат: график не пересекает ни ось абсцисс (Ox), ни ось ординат (Oy), так как $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

5. Асимптоты: Прямые, к которым график функции стремится, но никогда не пересекает. Для гиперболы $y = \frac{k}{x}$ асимптотами являются оси координат: - горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox); - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).

6. Промежутки монотонности (возрастания/убывания) зависят от знака коэффициента $k$: - если $k > 0$, функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; - если $k < 0$, функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

7. Расположение ветвей графика также зависит от знака $k$: - если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; - если $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Функция $y = \frac{k}{x}$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Основные свойства: область определения и значений не включают ноль, функция нечетная (симметрична относительно начала координат), оси координат являются ее асимптотами. Характер монотонности и расположение ветвей графика определяются знаком коэффициента $k$.

Как построить ее график?

Построение графика функции $y = \frac{k}{x}$ (гиперболы) выполняется по следующему алгоритму:

1. Определить расположение ветвей. Посмотреть на знак коэффициента $k$. Если $k > 0$, ветви будут в I и III четвертях. Если $k < 0$ — во II и IV.

2. Построить асимптоты. Для данной функции это оси координат $x = 0$ и $y = 0$. Их можно начертить пунктирными линиями.

3. Составить таблицу значений для одной ветви. Обычно составляют для положительных значений $x$. Желательно выбирать такие значения $x$, которые являются делителями числа $k$, чтобы получать целые значения $y$. Нужно как минимум 3-4 точки.

Например, для $y = \frac{6}{x}$ ($k=6 > 0$):

- при $x=1, y=6$; - при $x=2, y=3$; - при $x=3, y=2$; - при $x=6, y=1$.

4. Отметить полученные точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией, приближающейся к осям координат, но не пересекающей их. Это будет одна ветвь гиперболы (в I четверти для нашего примера).

5. Построить вторую ветвь симметрично. Так как функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Каждой точке $(x; y)$ на первой ветви соответствует симметричная точка $(-x; -y)$ на второй ветви.

Для примера $y = \frac{6}{x}$ используем точки из шага 3 с обратными знаками:

- $(-1; -6)$; - $(-2; -3)$; - $(-3; -2)$; - $(-6; -1)$.

Соединив эти точки, получим вторую ветвь гиперболы (в III четверти).

Ответ: Для построения графика нужно определить по знаку $k$, в каких четвертях находятся ветви, построить асимптоты (оси $Ox$ и $Oy$), затем по точкам построить одну ветвь (например, для $x>0$), а вторую ветвь построить симметрично первой относительно начала координат.