Проанализируй и ответь, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему областью определения функции $y = \frac{k}{x}$ $(k \neq 0)$ является промежуток $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$?

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x$), для которых значение функции (переменной $y$) может быть вычислено, то есть выражение, задающее функцию, имеет смысл.

В данном случае мы рассматриваем функцию $y = \frac{k}{x}$ при условии, что $k \neq 0$. Эта функция содержит операцию деления, где в числителе находится константа $k$, а в знаменателе — переменная $x$.

Основное правило арифметики, которое необходимо учитывать при нахождении области определения, — это запрет деления на ноль. Знаменатель дроби ни при каких обстоятельствах не может быть равен нулю, так как эта операция не определена в множестве действительных чисел.

Для функции $y = \frac{k}{x}$ знаменатель равен $x$. Следовательно, чтобы функция была определена, необходимо и достаточно выполнения условия:

$x \neq 0$

Это единственное ограничение для данной функции. Аргумент $x$ может принимать любые другие действительные значения, как положительные, так и отрицательные, целые и дробные. Для любого $x$, не равного нулю, мы можем вычислить соответствующее значение $y$.

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Это множество можно представить в виде объединения двух открытых числовых промежутков:

• Множество всех чисел от минус бесконечности до нуля, не включая ноль: $(-\infty; 0)$.
• Множество всех чисел от нуля до плюс бесконечности, не включая ноль: $(0; +\infty)$.

Объединение этих двух промежутков записывается с помощью символа $\cup$ и представляет собой всю числовую прямую, из которой "выколота" точка $x=0$.

Ответ: Областью определения функции $y = \frac{k}{x}$ является промежуток $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как данная функция содержит операцию деления на переменную $x$, а деление на ноль в математике является невыполнимой операцией. Поэтому из множества всех действительных чисел необходимо исключить значение аргумента, при котором знаменатель обращается в ноль, то есть $x = 0$.