Проанализируй и ответь, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему при $a < 0$ множеством значений функции $y = ax^3$ является множество чисел числовой прямой $(-\infty; +\infty)$?

Чтобы понять, почему множеством значений функции $y = ax^3$ при $a < 0$ является вся числовая прямая, нужно проанализировать поведение этой функции.

1. Анализ функции $f(x) = x^3$.

Область определения этой функции (все возможные значения $x$) — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Когда аргумент $x$ пробегает все действительные числа, его куб $x^3$ также принимает все возможные действительные значения.

• Если $x$ стремится к плюс бесконечности ($x \rightarrow +\infty$), то $x^3$ также стремится к плюс бесконечности ($x^3 \rightarrow +\infty$).
• Если $x$ стремится к минус бесконечности ($x \rightarrow -\infty$), то $x^3$ также стремится к минус бесконечности ($x^3 \rightarrow -\infty$), так как нечетная степень сохраняет знак числа.
• Если $x=0$, то $x^3=0$.

Поскольку функция $f(x)=x^3$ непрерывна, ее множество значений — это все действительные числа, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$.

2. Влияние коэффициента $a < 0$.

В функции $y = ax^3$ каждое значение, которое принимает $x^3$, умножается на постоянный отрицательный коэффициент $a$. Это приводит к следующим изменениям:

• Когда $x^3$ принимает большие положительные значения (стремится к $+\infty$), произведение $y = a \cdot x^3$ становится большим по модулю отрицательным числом (стремится к $-\infty$), так как положительное число умножается на отрицательное.
• Когда $x^3$ принимает большие по модулю отрицательные значения (стремится к $-\infty$), произведение $y = a \cdot x^3$ становится большим положительным числом (стремится к $+\infty$), так как происходит умножение двух отрицательных чисел.
• Когда $x^3=0$, значение функции $y = a \cdot 0 = 0$.

Таким образом, когда $x$ пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, $x^3$ пробегает значения от $-\infty$ до $+\infty$, а $y=ax^3$ (при $a<0$) пробегает значения от $+\infty$ до $-\infty$. Так как функция непрерывна, она принимает все действительные значения на этом пути.

3. Алгебраическое доказательство.

Чтобы доказать, что функция может принимать любое действительное значение, нужно показать, что для любого произвольного числа $Y$ уравнение $Y = ax^3$ имеет решение относительно $x$.

$Y = ax^3$

Выразим $x^3$:

$x^3 = \frac{Y}{a}$ (деление возможно, так как $a \neq 0$)

Теперь извлечем кубический корень:

$x = \sqrt[3]{\frac{Y}{a}}$

Поскольку кубический корень можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля), для любого действительного числа $Y$ всегда найдется соответствующее действительное число $x$. Это означает, что любое число из интервала $(-\infty; +\infty)$ является значением функции.

Ответ: Множеством значений функции $y = ax^3$ при $a < 0$ является множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$, потому что для любого действительного значения $Y$, которое мы хотим получить, всегда существует такое действительное значение $x = \sqrt[3]{Y/a}$, которое его обеспечивает. Функция $f(t)=t^3$ покрывает все действительные числа, а умножение на отрицательную константу $a$ лишь меняет направление монотонности функции (с возрастающей на убывающую), но сохраняет ее способность принимать любое действительное значение.