Номер 25.9, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.9. a) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 5x^2$ на промежутке: 1) $[0; 5]$; 2) $[-1; 2]$; 3) $[-5; -4]$; 4) $[-3; 1]$.

б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -0.5x^2$ на промежутке: 1) $[-2; 0]$; 2) $[-3; 3]$; 3) $[-5; -4]$; 4) $[0; 6]$.

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 5x^2$ проанализируем её свойства. График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Это означает, что функция убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$. Наименьшее значение на любом отрезке, содержащем $x=0$, будет $y(0)=0$.

1) На промежутке $[0; 5]$:

Так как промежуток относится к области возрастания функции ($x \ge 0$), наименьшее значение будет в левой точке, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = 5 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 125.

2) На промежутке $[-1; 2]$:

Этот промежуток содержит точку $x=0$, в которой находится вершина параболы. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке будет в этой точке.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.

Чтобы найти наибольшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка:

$y(-1) = 5 \cdot (-1)^2 = 5$.

$y(2) = 5 \cdot 2^2 = 20$.

Наибольшее из этих значений равно 20.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 20.

3) На промежутке $[-5; -4]$:

На этом промежутке $x < 0$, где функция убывает. Значит, наибольшее значение будет в левой точке, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-5) = 5 \cdot (-5)^2 = 5 \cdot 25 = 125$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-4) = 5 \cdot (-4)^2 = 5 \cdot 16 = 80$.

Ответ: наименьшее значение 80, наибольшее значение 125.

4) На промежутке $[-3; 1]$:

Промежуток содержит вершину $x=0$, поэтому наименьшее значение будет в этой точке.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.

Для нахождения наибольшего значения сравним значения на концах отрезка:

$y(-3) = 5 \cdot (-3)^2 = 5 \cdot 9 = 45$.

$y(1) = 5 \cdot 1^2 = 5$.

Наибольшее из этих значений равно 45.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 45.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -0.5x^2$ проанализируем её свойства. График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Это означает, что функция возрастает при $x < 0$ и убывает при $x > 0$. Наибольшее значение на любом отрезке, содержащем $x=0$, будет $y(0)=0$.

1) На промежутке $[-2; 0]$:

Так как промежуток относится к области возрастания функции ($x \le 0$), наименьшее значение будет в левой точке, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = -0.5 \cdot (-2)^2 = -0.5 \cdot 4 = -2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0.5 \cdot 0^2 = 0$.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 0.

2) На промежутке $[-3; 3]$:

Этот промежуток содержит точку $x=0$, в которой находится вершина параболы. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке будет в этой точке.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0.5 \cdot 0^2 = 0$.

Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Так как функция четная, $y(-3) = y(3)$.

$y(-3) = -0.5 \cdot (-3)^2 = -0.5 \cdot 9 = -4.5$.

Наименьшее значение равно -4.5.

Ответ: наименьшее значение -4.5, наибольшее значение 0.

3) На промежутке $[-5; -4]$:

На этом промежутке $x < 0$, где функция возрастает. Значит, наименьшее значение будет в левой точке, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-5) = -0.5 \cdot (-5)^2 = -0.5 \cdot 25 = -12.5$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = -0.5 \cdot (-4)^2 = -0.5 \cdot 16 = -8$.

Ответ: наименьшее значение -12.5, наибольшее значение -8.

4) На промежутке $[0; 6]$:

На этом промежутке $x \ge 0$, где функция убывает. Значит, наибольшее значение будет в левой точке, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0.5 \cdot 0^2 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(6) = -0.5 \cdot 6^2 = -0.5 \cdot 36 = -18$.

Ответ: наименьшее значение -18, наибольшее значение 0.