Номер 25.5, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.5. Используя графики функций, найдите число корней уравнения:

1) $x^2 + 4 = 0$;

2) $4x^2 - 3 = 5$;

3) $5 - 0.4x^2 = 2$;

4) $-2^3 + 3^2x^2 = 4$.

1) Чтобы найти число корней уравнения $x^2 + 4 = 0$ графическим методом, преобразуем его. Перенесём 4 в правую часть: $x^2 = -4$.

Теперь рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = -4$. Количество точек пересечения их графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

График функции $y = x^2$ — это парабола, вершина которой находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх. Все точки этой параболы имеют неотрицательные ординаты, то есть $y \ge 0$.

График функции $y = -4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0, -4).

Поскольку парабола $y=x^2$ лежит в верхней полуплоскости (и на оси Ox), а прямая $y = -4$ — в нижней, у них нет общих точек. Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: 0.

2) Рассмотрим уравнение $4x^2 - 3 = 5$. Преобразуем его, чтобы найти точки пересечения двух простых функций. Перенесём -3 в правую часть:

$4x^2 = 5 + 3$

$4x^2 = 8$

Теперь нам нужно найти количество точек пересечения графиков функций $y = 4x^2$ и $y = 8$.

График функции $y = 4x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она "уже", чем стандартная парабола $y = x^2$.

График функции $y = 8$ — это горизонтальная прямая, проходящая выше оси абсцисс через точку (0, 8).

Так как вершина параболы находится в точке (0, 0), а прямая $y=8$ расположена выше вершины, она пересечёт ветви параболы в двух точках (симметрично относительно оси Oy).

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

3) Рассмотрим уравнение $5 - 0,4x^2 = 2$. Преобразуем его, изолировав член с $x^2$:

$-0,4x^2 = 2 - 5$

$-0,4x^2 = -3$

Умножим обе части на -1:

$0,4x^2 = 3$

Теперь задача сводится к нахождению числа точек пересечения графиков функций $y = 0,4x^2$ и $y = 3$.

График функции $y = 0,4x^2$ — это парабола, вершина которой находится в начале координат, а ветви направлены вверх. Она "шире", чем стандартная парабола $y = x^2$.

График функции $y = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая выше оси абсцисс.

Прямая $y = 3$ находится выше вершины параболы (0, 0) и, следовательно, пересекает её в двух точках.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

4) Рассмотрим уравнение $-2^3 + 3^2x^2 = 4$. Сначала вычислим значения степеней:

$-8 + 9x^2 = 4$

Теперь преобразуем уравнение, чтобы разделить его на два графика:

$9x^2 = 4 + 8$

$9x^2 = 12$

Найдём число точек пересечения графиков функций $y = 9x^2$ и $y = 12$.

График функции $y = 9x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

График функции $y = 12$ — это горизонтальная прямая, проходящая значительно выше оси абсцисс.

Так как прямая $y = 12$ проходит выше вершины параболы $y = 9x^2$, они пересекаются в двух точках.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.