Вопросы для закрепления, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как из параболы $y = x^2$ получить параболу: $y = -7x^2$; $y = \frac{1}{7}x^2$?

2. Как относительно друг друга расположены параболы $y = 25x^2$; $y = -25x^2$?

3. Объясните, почему ось ординат является осью симметрии параболы вида $y = ax^2$.

4. В каких координатных четвертях расположена парабола: $y = 9x^2$; $y = -9x^2$?

1. Чтобы получить график функции (параболу) вида $y = ax^2$ из параболы $y = x^2$, необходимо выполнить преобразования растяжения/сжатия и отражения.

Для параболы $y = -7x^2$:

• Коэффициент $a = -7$. Абсолютное значение коэффициента $|-7| = 7$. Так как $7 > 1$, необходимо растянуть параболу $y = x^2$ от оси абсцисс (вдоль оси ординат) в 7 раз. При этом получится парабола $y = 7x^2$.
• Так как коэффициент $a = -7$ отрицательный, необходимо выполнить симметричное отражение полученной параболы $y = 7x^2$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

Для параболы $y = \frac{1}{7}x^2$:

• Коэффициент $a = \frac{1}{7}$. Абсолютное значение коэффициента $|\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$. Так как $0 < \frac{1}{7} < 1$, необходимо сжать параболу $y = x^2$ к оси абсцисс (вдоль оси ординат) в 7 раз.
• Так как коэффициент $a = \frac{1}{7}$ положительный, отражение не требуется.

Ответ: Чтобы получить параболу $y = -7x^2$, нужно параболу $y = x^2$ растянуть в 7 раз от оси $Ox$ и затем отразить симметрично относительно оси $Ox$. Чтобы получить параболу $y = \frac{1}{7}x^2$, нужно параболу $y = x^2$ сжать в 7 раз к оси $Ox$.

2. Рассмотрим две параболы: $y = 25x^2$ и $y = -25x^2$. Для любого значения аргумента $x$ значения функций этих парабол противоположны по знаку. Например, если взять точку $(x_0, y_0)$ на параболе $y = 25x^2$, то $y_0 = 25x_0^2$. Для этого же $x_0$ на второй параболе значение функции будет $y_1 = -25x_0^2 = -y_0$. Таким образом, точка $(x_0, -y_0)$ принадлежит второй параболе. Точки $(x, y)$ и $(x, -y)$ симметричны относительно оси абсцисс ($Ox$). Это верно для всех точек обеих парабол.

Ответ: Параболы $y = 25x^2$ и $y = -25x^2$ расположены симметрично друг другу относительно оси абсцисс ($Ox$).

3. Ось ординат ($Oy$) является осью симметрии для графика функции $f(x)$, если для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Такая функция называется четной. Рассмотрим функцию $y = f(x) = ax^2$. Найдем значение этой функции для аргумента $-x$: $f(-x) = a(-x)^2 = a(x^2)$. Так как $f(x) = ax^2$, мы видим, что $f(-x) = f(x)$. Это означает, что для любых двух противоположных значений аргумента ($x$ и $-x$) функция принимает одно и то же значение. Точки графика с координатами $(x, ax^2)$ и $(-x, ax^2)$ находятся на одинаковом расстоянии от оси ординат, но по разные стороны от нее, и на одной и той же высоте. Следовательно, график функции симметричен относительно оси ординат.

Ответ: Ось ординат является осью симметрии параболы вида $y=ax^2$, потому что данная функция является четной, то есть для любого $x$ выполняется $a(-x)^2 = ax^2$.

4. Расположение параболы $y = ax^2$ в координатных четвертях зависит от знака коэффициента $a$.

Для параболы $y = 9x^2$:

• Коэффициент $a=9$ является положительным ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $y = 9x^2 \ge 0$.
• Если $x > 0$, то $y > 0$. Эта часть графика находится в I координатной четверти.
• Если $x < 0$, то $y > 0$. Эта часть графика находится во II координатной четверти.

Для параболы $y = -9x^2$:

• Коэффициент $a=-9$ является отрицательным ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
• Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $y = -9x^2 \le 0$.
• Если $x > 0$, то $y < 0$. Эта часть графика находится в IV координатной четверти.
• Если $x < 0$, то $y < 0$. Эта часть графика находится в III координатной четверти.

Вершина обеих парабол находится в начале координат $(0, 0)$, которое не принадлежит ни одной из четвертей.

Ответ: Парабола $y = 9x^2$ расположена в I и II координатных четвертях. Парабола $y = -9x^2$ расположена в III и IV координатных четвертях.