Вопрос критерии успеха, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Какими свойствами обладает функция $y = ax^2$ ($a \neq 0$) и как построить ее график?

Функция вида $y = ax^2$, где $a \neq 0$, является частным случаем квадратичной функции. Её график — кривая, называемая параболой. Ниже рассмотрены основные свойства этой функции и алгоритм построения её графика.

Какими свойствами обладает функция y = ax² (a ≠ 0)

Свойства функции $y = ax^2$ во многом определяются знаком коэффициента $a$.

Общие свойства (не зависят от знака $a$):

• Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Вершина параболы: График всегда проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, которая является вершиной параболы.

• Нули функции: $y=0$ только при $x=0$.

• Симметрия: Функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Свойства, зависящие от знака $a$:

Если $a > 0$:

• Направление ветвей: Ветви параболы направлены вверх.

• Область значений: Множество всех неотрицательных чисел, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

• Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

• Экстремум: В точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.

Если $a < 0$:

• Направление ветвей: Ветви параболы направлены вниз.

• Область значений: Множество всех неположительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; 0]$.

• Промежутки монотонности: Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

• Экстремум: В точке $x=0$ функция имеет максимум, $y_{max} = 0$.

Также стоит отметить, что абсолютное значение коэффициента $|a|$ влияет на форму параболы: чем больше $|a|$, тем «уже» график (он сильнее «растянут» вдоль оси OY); чем меньше $|a|$, тем график «шире» (он «сжат» к оси OX).

Ответ: Основные свойства функции $y = ax^2$: область определения — все действительные числа; график — парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0,0)$. При $a>0$ ветви направлены вверх, $y \ge 0$, функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. При $a<0$ ветви направлены вниз, $y \le 0$, функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.

и как построить ее график?

Построение графика функции $y = ax^2$ (параболы) выполняется по следующему алгоритму:

1. Найти координаты вершины параболы. Для данной функции это всегда точка $(0, 0)$.

2. Определить направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$: если $a > 0$ — ветви вверх, если $a < 0$ — ветви вниз.

3. Составить таблицу значений для одной из ветвей (например, для $x>0$). Для этого нужно выбрать несколько значений аргумента $x$ (например, 1, 2, 3) и вычислить для них соответствующие значения функции $y$.

4. Нанести на координатную плоскость вершину и точки из таблицы.

5. Построить симметричные точки для второй ветви. Поскольку парабола симметрична относительно оси OY, для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике будет и точка $(-x_0, y_0)$.

6. Соединить все полученные точки плавной линией.

Пример построения для $y = -0.5x^2$:

1. Вершина в $(0, 0)$.

2. $a = -0.5 < 0$, ветви направлены вниз.

3. Вычисляем точки для $x > 0$:

   Если $x=1$, то $y = -0.5 \cdot 1^2 = -0.5$. Точка $(1, -0.5)$.

   Если $x=2$, то $y = -0.5 \cdot 2^2 = -2$. Точка $(2, -2)$.

   Если $x=4$, то $y = -0.5 \cdot 4^2 = -8$. Точка $(4, -8)$.

4. Наносим точки $(0,0)$, $(1, -0.5)$, $(2, -2)$, $(4, -8)$.

5. Строим симметричные им точки: $(-1, -0.5)$, $(-2, -2)$, $(-4, -8)$.

6. Соединяем все точки плавной кривой.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = ax^2$, нужно: 1. Отметить вершину в точке $(0,0)$. 2. Определить направление ветвей по знаку $a$. 3. Вычислить координаты 2-3 точек для $x > 0$. 4. Построить эти точки и симметричные им относительно оси OY. 5. Соединить все точки плавной кривой.