Номер 24.8, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.8. Выясните, сколько решений имеет система уравнений:

1)

$\begin{cases} 6x+y=0, \\ -4x+y=2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y+x=7, \\ y=-x-5; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x-y=2, \\ 3x-3y-6=0. \end{cases}$

1) Чтобы определить количество решений системы, выразим y через x в каждом уравнении. Каждое уравнение представляет собой прямую на плоскости, и количество решений системы равно количеству точек пересечения этих прямых.

Первое уравнение: $6x + y = 0$. Выразим y: $y = -6x$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_1 = -6$.

Второе уравнение: $-4x + y = 2$. Выразим y: $y = 4x + 2$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_2 = 4$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$, то есть $-6 \neq 4$), прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y + x = 7 \\ y = -x - 5 \end{cases} $

Во втором уравнении переменная y уже выражена через x. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(-x - 5) + x = 7$

Упростим левую часть уравнения:

$-x + x - 5 = 7$

$-5 = 7$

В результате мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что система уравнений несовместна, то есть не существует пар чисел $(x; y)$, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям одновременно. Геометрически это соответствует двум параллельным прямым, которые никогда не пересекаются.

Ответ: нет решений.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - 3y - 6 = 0 \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение. Сначала перенесем свободный член в правую часть:

$3x - 3y = 6$

Теперь разделим обе части этого уравнения на 3:

$\frac{3x}{3} - \frac{3y}{3} = \frac{6}{3}$

$x - y = 2$

После преобразования мы видим, что второе уравнение в точности совпадает с первым. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы. Так как на прямой бесконечно много точек, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.