Номер 24.4, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.4. Постройте графики функций и найдите координаты точки их пересечения:

1) $y=x+4$ и $y=6-x$;

2) $y=7x+9$ и $y=3+x$;

3) $x+y=3$ и $x-y=1$;

4) $3x-2y=-2$ и $7x-5y=-4$.

1) y = x + 4 и y = 6 - x

Для построения графиков данных функций, являющихся прямыми, найдем по две точки для каждой из них.

Для функции $y = x + 4$:

• при $x = 0$, $y = 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• при $x = -4$, $y = -4 + 4 = 0$. Точка $(-4, 0)$.

Для функции $y = 6 - x$:

• при $x = 0$, $y = 6 - 0 = 6$. Точка $(0, 6)$.
• при $x = 6$, $y = 6 - 6 = 0$. Точка $(6, 0)$.

Чтобы найти координаты точки пересечения, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x + 4 \\ y = 6 - x \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$x + 4 = 6 - x$

$x + x = 6 - 4$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$:

$y = 1 + 4 = 5$

Координаты точки пересечения: $(1, 5)$.

Ответ: Графики функций — прямые. Первая проходит через точки $(0, 4)$ и $(-4, 0)$. Вторая проходит через точки $(0, 6)$ и $(6, 0)$. Координаты точки их пересечения: $(1, 5)$.

2) y = 7x + 9 и y = 3 + x

Обе функции линейные, их графики — прямые. Построим их по двум точкам.

Для функции $y = 7x + 9$:

• при $x = 0$, $y = 7 \cdot 0 + 9 = 9$. Точка $(0, 9)$.
• при $x = -1$, $y = 7 \cdot (-1) + 9 = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Для функции $y = 3 + x$:

• при $x = 0$, $y = 3 + 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• при $x = -3$, $y = 3 + (-3) = 0$. Точка $(-3, 0)$.

Найдем координаты точки пересечения, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 7x + 9 \\ y = 3 + x \end{cases} $

Приравняем правые части:

$7x + 9 = 3 + x$

$7x - x = 3 - 9$

$6x = -6$

$x = -1$

Найдем $y$:

$y = 3 + (-1) = 2$

Координаты точки пересечения: $(-1, 2)$.

Ответ: Графики функций — прямые. Первая проходит через точки $(0, 9)$ и $(-1, 2)$. Вторая проходит через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. Координаты точки их пересечения: $(-1, 2)$.

3) x + y = 3 и x - y = 1

Сначала выразим $y$ через $x$ в каждом уравнении, чтобы получить вид $y = kx + b$.

Из $x + y = 3$ получаем $y = 3 - x$.

Из $x - y = 1$ получаем $-y = 1 - x$, то есть $y = x - 1$.

Построим графики по двум точкам для каждой прямой.

Для $y = 3 - x$:

• при $x = 0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
• при $x = 3$, $y = 0$. Точка $(3, 0)$.

Для $y = x - 1$:

• при $x = 0$, $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
• при $x = 1$, $y = 0$. Точка $(1, 0)$.

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений. Удобно использовать исходную систему и метод сложения.

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 3 + 1$

$2x = 4$

$x = 2$

Подставим $x = 2$ в первое уравнение:

$2 + y = 3$

$y = 1$

Координаты точки пересечения: $(2, 1)$.

Ответ: Графики функций — прямые. Первая ($y=3-x$) проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Вторая ($y=x-1$) проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$. Координаты точки их пересечения: $(2, 1)$.

4) 3x - 2y = -2 и 7x - 5y = -4

Выразим $y$ через $x$ в каждом уравнении.

Из $3x - 2y = -2$:

$-2y = -3x - 2 \implies 2y = 3x + 2 \implies y = \frac{3}{2}x + 1$

Из $7x - 5y = -4$:

$-5y = -7x - 4 \implies 5y = 7x + 4 \implies y = \frac{7}{5}x + \frac{4}{5}$

Найдем по две точки для построения каждой прямой.

Для $y = \frac{3}{2}x + 1$:

• при $x = 0$, $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x = 2$, $y = \frac{3}{2} \cdot 2 + 1 = 3 + 1 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Для $y = \frac{7}{5}x + \frac{4}{5}$:

• при $x = -2$, $y = \frac{7}{5} \cdot (-2) + \frac{4}{5} = -\frac{14}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{10}{5} = -2$. Точка $(-2, -2)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{7}{5} \cdot 3 + \frac{4}{5} = \frac{21}{5} + \frac{4}{5} = \frac{25}{5} = 5$. Точка $(3, 5)$.

Найдем точку пересечения, решив систему методом исключения.

$ \begin{cases} 3x - 2y = -2 \\ 7x - 5y = -4 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$ \begin{cases} 15x - 10y = -10 \\ -14x + 10y = 8 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(15x - 10y) + (-14x + 10y) = -10 + 8$

$x = -2$

Подставим $x = -2$ в первое исходное уравнение:

$3(-2) - 2y = -2$

$-6 - 2y = -2$

$-2y = -2 + 6$

$-2y = 4$

$y = -2$

Координаты точки пересечения: $(-2, -2)$.

Ответ: Графики функций — прямые. Первая ($y = \frac{3}{2}x + 1$) проходит через точки $(0, 1)$ и $(2, 4)$. Вторая ($y = \frac{7}{5}x + \frac{4}{5}$) проходит через точки $(-2, -2)$ и $(3, 5)$. Координаты точки их пересечения: $(-2, -2)$.