Номер 23.15, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.15. Решите систему уравнений $\begin{cases} x+4y=5, \\ 3x-y=2 \end{cases}$ способом алгебраического сложения.

Для решения данной системы уравнений методом алгебраического сложения необходимо преобразовать одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ 3x - y = 2 \end{cases} $

Обратим внимание, что коэффициенты при переменной $y$ в первом и втором уравнениях равны $4$ и $-1$. Чтобы они стали противоположными, умножим второе уравнение на 4:

$4 \cdot (3x - y) = 4 \cdot 2$

$12x - 4y = 8$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ 12x - 4y = 8 \end{cases} $

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$(x + 4y) + (12x - 4y) = 5 + 8$

Приведем подобные слагаемые. Члены с переменной $y$ взаимно уничтожаются.

$x + 12x = 13$

$13x = 13$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{13}{13}$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений для нахождения $y$. Удобнее использовать первое уравнение $x + 4y = 5$.

$1 + 4y = 5$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$4y = 5 - 1$

$4y = 4$

Находим значение $y$:

$y = \frac{4}{4}$

$y = 1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Проверим полученное решение, подставив значения $x=1$ и $y=1$ в оба исходных уравнения:

Для первого уравнения: $1 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5$. Равенство верно.

Для второго уравнения: $3 \cdot 1 - 1 = 3 - 1 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $(1; 1)$