Вопросы для закрепления, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему один из способов решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными назвали графическим способом?

2. Какие линии и сколько надо построить, чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными?

3. Почему система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение, либо ни одного решения, либо бесконечно много решений?

1. Этот способ решения системы уравнений называется графическим, потому что он основан на визуальном представлении уравнений в виде графиков. Каждое линейное уравнение с двумя переменными, имеющее общий вид $ax + by = c$, на координатной плоскости представляет собой прямую линию. Решить систему из двух таких уравнений — значит найти пару чисел $(x; y)$, которая одновременно является решением для каждого из уравнений. Геометрически это соответствует нахождению координат точки, которая принадлежит обеим прямым, то есть является точкой их пересечения. Процесс решения сводится к построению графиков двух уравнений и определению координат общей точки. Так как в основе метода лежит работа с графиками, он и получил название "графический".

Ответ: Способ назван графическим, поскольку решение системы ищется путем построения графиков уравнений и нахождения координат их общих точек.

2. Для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными необходимо построить графики обоих уравнений. Графиком каждого линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия. Следовательно, чтобы решить такую систему, нужно на одной координатной плоскости построить две прямые линии. Каждая линия будет соответствовать одному из уравнений системы. Координаты точки, в которой эти линии пересекутся, и будут являться решением системы уравнений.

Ответ: Чтобы решить систему, нужно построить две прямые линии.

3. Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными напрямую связано с взаимным расположением двух прямых на плоскости, которые являются графиками этих уравнений. Существует только три возможных варианта их расположения:

1. Прямые пересекаются. Это происходит, когда у прямых разные угловые коэффициенты. Если уравнения записаны в виде $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то условие пересечения — $k_1 \neq k_2$. Прямые имеют одну общую точку, поэтому система имеет одно решение.

2. Прямые параллельны. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых равны, а смещения по оси $y$ — различны ($k_1 = k_2$, но $b_1 \neq b_2$). Параллельные прямые никогда не пересекаются, у них нет общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

3. Прямые совпадают. Это происходит, когда оба уравнения описывают одну и ту же прямую, то есть их угловые коэффициенты и смещения равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$). В этом случае каждая точка одной прямой является также и точкой другой прямой. Общих точек у таких прямых бесконечное множество. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Поскольку не существует других вариантов взаимного расположения для двух прямых на плоскости, то и система не может иметь какое-либо другое количество решений (например, ровно два).

Ответ: Количество решений определяется взаимным расположением двух прямых на плоскости: они могут пересечься в одной точке (одно решение), быть параллельными (нет решений) или совпадать (бесконечно много решений).