Вопрос критерии успеха, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом?

Графический способ решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в построении графиков этих уравнений в одной и той же системе координат и нахождении координат точки их пересечения. Каждое линейное уравнение с двумя переменными вида $ax + by = c$ на координатной плоскости представляет собой прямую линию.

Для решения системы графическим способом необходимо следовать алгоритму:

1. Преобразовать уравнения к виду линейной функции.

Для каждого уравнения в системе $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ нужно выразить переменную $y$ через $x$. В результате уравнения приводятся к виду $y = kx + m$, где $k$ — угловой коэффициент (показывает наклон прямой), а $m$ — свободный член (показывает точку пересечения с осью $Oy$). Например, уравнение $ax + by = c$ преобразуется в $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. Примечание: если в уравнении $b=0$, то оно приводится к виду $x=d$, и его графиком является прямая, параллельная оси ординат ($Oy$). Если $a=0$, то уравнение приводится к виду $y=d$, и его график — прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$).

2. Построить графики уравнений.

Для построения графика линейной функции (прямой) достаточно найти координаты двух любых ее точек. Для этого удобно составить таблицу значений для каждого уравнения, выбрав два произвольных значения $x$ (например, $x=0$ и $x=1$) и вычислив для них соответствующие значения $y$. Затем эти точки отмечаются в системе координат и через них проводится прямая.

3. Определить решение системы по графикам.

После построения двух прямых необходимо проанализировать их взаимное расположение:

• Если прямые пересекаются в одной точке, то координаты этой точки $(x_0; y_0)$ являются единственным решением системы.
• Если прямые параллельны и не совпадают, они не имеют общих точек, следовательно, система уравнений не имеет решений.
• Если прямые совпадают, они имеют бесконечное множество общих точек, и система имеет бесконечное множество решений.

Пример:

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $

Шаг 1: Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $x + y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 5 - x$

2) $2x - y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 4$

Шаг 2: Построим графики. Для каждой прямой найдем по две точки.

Для прямой $y = 5 - x$:

- Если $x = 0$, то $y = 5 - 0 = 5$. Точка $(0; 5)$.

- Если $x = 5$, то $y = 5 - 5 = 0$. Точка $(5; 0)$.

Для прямой $y = 2x - 4$:

- Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка $(0; -4)$.

- Если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2 - 4 = 0$. Точка $(2; 0)$.

Шаг 3: Построим в системе координат $xOy$ две прямые по найденным точкам. Мы увидим, что прямые пересекаются в точке с координатами $(3; 2)$.

Проверим, подставив $x=3$ и $y=2$ в исходные уравнения:

$ \begin{cases} 3 + 2 = 5 \\ 2 \cdot 3 - 2 = 4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 5 = 5 \\ 4 = 4 \end{cases} $

Оба равенства верные, следовательно, пара чисел $(3; 2)$ является решением системы.

Ответ: Чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом, необходимо построить в одной системе координат графики каждого уравнения (две прямые) и найти координаты точки их пересечения. Если прямые пересекаются, их точка пересечения является решением системы. Если прямые параллельны, система не имеет решений. Если прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений. Для приведенного примера решением является точка $(3; 2)$.