Номер 24.5, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите графически системы уравнений (24.5–24.7):

24.5.

1) $\begin{cases} y=2x \\ y=2+x \end{cases}$

2) $\begin{cases} y=-2x \\ y=x-3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} y-5x=0 \\ y=x-4 \end{cases}$

4) $\begin{cases} y-3x=0 \\ y=-6+x \end{cases}$

1) Для графического решения данной системы уравнений построим в одной системе координат графики функций $y=2x$ и $y=2+x$. Оба графика являются прямыми линиями. Решением системы будет являться точка пересечения этих прямых.

Построим график функции $y=2x$. Это прямая, пропорциональная зависимость, проходящая через начало координат $(0;0)$. Для построения прямой найдем еще одну точку: при $x=1$, $y=2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(1;2)$.

Построим график функции $y=2+x$, или $y=x+2$. Это линейная функция. Для построения прямой найдем две точки: при $x=0$, $y=0+2=2$ (точка $(0;2)$); при $x=-2$, $y=-2+2=0$ (точка $(-2;0)$).

Построив графики на координатной плоскости, мы найдем их точку пересечения. Координаты этой точки являются решением системы. Из построения видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(2;4)$.

Ответ: $(2; 4)$

2) Для графического решения системы построим в одной системе координат графики уравнений $y=-2x$ и $y=x-3$. Решением системы будут координаты точки пересечения этих прямых.

График первого уравнения $y=-2x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0;0)$. Найдем еще одну точку для построения: если $x=1$, то $y=-2 \cdot 1 = -2$. Прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(1;-2)$.

График второго уравнения $y=x-3$ — это также прямая. Найдем две точки для ее построения. Если $x=0$, то $y=0-3=-3$ (точка $(0;-3)$). Если $x=3$, то $y=3-3=0$ (точка $(3;0)$).

Построив обе прямые на координатной плоскости, находим их точку пересечения. Координаты точки пересечения — $(1;-2)$. Эта пара чисел и является решением системы.

Ответ: $(1; -2)$

3) Для графического решения системы сначала приведем первое уравнение к стандартному виду линейной функции. Уравнение $y-5x=0$ эквивалентно $y=5x$. Таким образом, нужно построить графики функций $y=5x$ и $y=x-4$ и найти их точку пересечения.

График функции $y=5x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0;0)$. Возьмем еще одну точку: при $x=1$, $y=5 \cdot 1 = 5$. Прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(1;5)$.

График функции $y=x-4$ — это прямая. Найдем две точки для построения: при $x=0$, $y=0-4=-4$ (точка $(0;-4)$); при $x=4$, $y=4-4=0$ (точка $(4;0)$).

Построив графики, находим точку их пересечения. Координаты этой точки — $(-1;-5)$.

Ответ: $(-1; -5)$

4) Для графического решения системы приведем уравнения к виду $y=kx+b$. Первое уравнение $y-3x=0$ преобразуется в $y=3x$. Второе уравнение $y=-6+x$ можно записать как $y=x-6$. Построим графики этих двух функций.

График функции $y=3x$ — прямая, проходящая через начало координат $(0;0)$. Для построения возьмем еще одну точку: при $x=1$, $y=3 \cdot 1 = 3$. Прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(1;3)$.

График функции $y=x-6$ — также прямая. Найдем две точки для построения: при $x=0$, $y=0-6=-6$ (точка $(0;-6)$); при $x=6$, $y=6-6=0$ (точка $(6;0)$).

Построив обе прямые в одной системе координат, определим координаты точки их пересечения. Точка пересечения имеет координаты $(-3;-9)$.

Ответ: $(-3; -9)$