Номер 24.9, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.9. Найдите значение выражения $7x_0 + 3y_0$, если координаты точки $A(x_0; y_0)$ являются решением системы уравнений:

1) $ \begin{cases} 7x - 3y = -1 \\ 14x - 2y = \frac{2}{3} \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 12y + 7x = -4 \\ x + 24y = -2\frac{5}{7} \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 8y - 7x = -5,6 \\ 35x + 2y = 7 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 10x + 12y = 7,5 \\ 24y - 5x = -5 \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x - 3y = -1 \\ 14x - 2y = \frac{2}{3} \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$-2(7x - 3y) = -2(-1) \implies -14x + 6y = 2$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-14x + 6y) + (14x - 2y) = 2 + \frac{2}{3}$

Приводим подобные слагаемые:

$4y = \frac{6}{3} + \frac{2}{3}$

$4y = \frac{8}{3}$

Находим $y_0$:

$y_0 = \frac{8}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3}$

Подставим найденное значение $y_0$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x_0$:

$7x_0 - 3(\frac{2}{3}) = -1$

$7x_0 - 2 = -1$

$7x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{7}$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $(x_0; y_0) = (\frac{1}{7}; \frac{2}{3})$.

Теперь найдем значение выражения $7x_0 + 3y_0$:

$7x_0 + 3y_0 = 7 \cdot (\frac{1}{7}) + 3 \cdot (\frac{2}{3}) = 1 + 2 = 3$

Ответ: 3

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 12y + 7x = -4 \\ x + 24y = -2\frac{5}{7} \end{cases} $

Перепишем систему в стандартном виде и преобразуем смешанное число в неправильную дробь $-2\frac{5}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 5}{7} = -\frac{19}{7}$:

$ \begin{cases} 7x + 12y = -4 \\ x + 24y = -\frac{19}{7} \end{cases} $

Умножим первое уравнение на -2:

$-2(7x + 12y) = -2(-4) \implies -14x - 24y = 8$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-14x - 24y) + (x + 24y) = 8 + (-\frac{19}{7})$

$-13x = \frac{56}{7} - \frac{19}{7}$

$-13x = \frac{37}{7}$

$x_0 = \frac{37}{7 \cdot (-13)} = -\frac{37}{91}$

Подставим $x_0$ во второе уравнение $x + 24y = -\frac{19}{7}$, чтобы найти $y_0$:

$-\frac{37}{91} + 24y_0 = -\frac{19}{7}$

$24y_0 = -\frac{19}{7} + \frac{37}{91}$

$24y_0 = -\frac{19 \cdot 13}{91} + \frac{37}{91} = \frac{-247 + 37}{91} = -\frac{210}{91}$

Сократим дробь на 7: $-\frac{210}{91} = -\frac{30}{13}$.

$24y_0 = -\frac{30}{13}$

$y_0 = -\frac{30}{13 \cdot 24} = -\frac{5 \cdot 6}{13 \cdot 4 \cdot 6} = -\frac{5}{52}$

Теперь найдем значение выражения $7x_0 + 3y_0$:

$7x_0 + 3y_0 = 7 \cdot (-\frac{37}{91}) + 3 \cdot (-\frac{5}{52}) = -\frac{37}{13} - \frac{15}{52}$

Приведем к общему знаменателю 52:

$-\frac{37 \cdot 4}{13 \cdot 4} - \frac{15}{52} = -\frac{148}{52} - \frac{15}{52} = -\frac{163}{52}$

Ответ: $-\frac{163}{52}$

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 8y - 7x = -5,6 \\ 35x + 2y = 7 \end{cases} $

Перепишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} -7x + 8y = -5,6 \\ 35x + 2y = 7 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на -4, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$-4(35x + 2y) = -4(7) \implies -140x - 8y = -28$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(-7x + 8y) + (-140x - 8y) = -5,6 + (-28)$

$-147x = -33,6$

$x_0 = \frac{-33,6}{-147} = \frac{336}{1470}$

Сократим дробь. Числитель и знаменатель делятся на 42: $336 = 8 \cdot 42$, $1470 = 35 \cdot 42$.

$x_0 = \frac{8}{35}$

Подставим $x_0$ во второе уравнение $35x + 2y = 7$, чтобы найти $y_0$:

$35(\frac{8}{35}) + 2y_0 = 7$

$8 + 2y_0 = 7$

$2y_0 = -1$

$y_0 = -\frac{1}{2} = -0,5$

Теперь найдем значение выражения $7x_0 + 3y_0$:

$7x_0 + 3y_0 = 7 \cdot (\frac{8}{35}) + 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{8}{5} - \frac{3}{2}$

$= 1,6 - 1,5 = 0,1$

Ответ: 0,1

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 10x + 12y = 7,5 \\ 24y - 5x = -5 \end{cases} $

Перепишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} 10x + 12y = 7,5 \\ -5x + 24y = -5 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$2(-5x + 24y) = 2(-5) \implies -10x + 48y = -10$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(10x + 12y) + (-10x + 48y) = 7,5 + (-10)$

$60y = -2,5$

$y_0 = \frac{-2,5}{60} = \frac{-25}{600} = -\frac{1}{24}$

Подставим $y_0$ в первое уравнение $10x + 12y = 7,5$, чтобы найти $x_0$:

$10x_0 + 12(-\frac{1}{24}) = 7,5$

$10x_0 - \frac{12}{24} = 7,5$

$10x_0 - 0,5 = 7,5$

$10x_0 = 8$

$x_0 = \frac{8}{10} = 0,8$

Теперь найдем значение выражения $7x_0 + 3y_0$:

$7x_0 + 3y_0 = 7 \cdot (0,8) + 3 \cdot (-\frac{1}{24})$

$= 5,6 - \frac{3}{24} = 5,6 - \frac{1}{8}$

Так как $\frac{1}{8} = 0,125$, получаем:

$5,6 - 0,125 = 5,475$

Ответ: 5,475