Номер 25.3, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.3. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = 4x^2$ и $y = \frac{1}{4} x^2$;

2) $y = -x^2$ и $y = \frac{1}{3} x^2$;

3) $y = 2x^2$ и $y = 5x^2$.

1) Построим графики функций $y = 4x^2$ и $y = \frac{1}{4}x^2$.

Обе функции относятся к виду $y=ax^2$. Графиком такой функции является парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и симметричная относительно оси $y$.

В обоих случаях коэффициент $a$ положителен ($a=4$ и $a=\frac{1}{4}$), поэтому ветви обеих парабол направлены вверх.

Величина коэффициента $|a|$ определяет степень "сжатия" параболы к оси $y$. Чем больше $|a|$, тем парабола "уже". Так как $4 > \frac{1}{4}$, график $y=4x^2$ будет расположен ближе к оси $y$ (будет более "узким"), чем график $y=\frac{1}{4}x^2$.

Для построения графиков найдем несколько точек для каждой функции, составив таблицы значений.

Таблица значений для $y=4x^2$:

Таблица значений для $y=\frac{1}{4}x^2$:

Чтобы построить графики, нужно нанести вычисленные точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой, учитывая симметрию относительно оси $y$.

Ответ: Графики функций $y=4x^2$ и $y=\frac{1}{4}x^2$ представляют собой параболы с общей вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола $y=4x^2$ является более "узкой" и "крутой", чем парабола $y=\frac{1}{4}x^2$, которая является более "широкой" и "пологой".

2) Построим графики функций $y = -x^2$ и $y = -\frac{1}{3}x^2$.

Графиками этих функций также являются параболы вида $y=ax^2$ с вершиной в начале координат $(0,0)$ и осью симметрии $y$.

В данном случае коэффициенты $a$ отрицательны ($a=-1$ и $a=-\frac{1}{3}$), поэтому ветви обеих парабол направлены вниз.

Сравним "ширину" парабол по модулю коэффициентов: $|-1| = 1$ и $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$. Поскольку $1 > \frac{1}{3}$, график $y=-x^2$ будет более "узким" (сильнее прижат к оси $y$), чем график $y=-\frac{1}{3}x^2$.

Составим таблицы значений для построения.

Таблица значений для $y=-x^2$:

Таблица значений для $y=-\frac{1}{3}x^2$:

Нанеся точки на координатную плоскость и соединив их плавной линией, получим две параболы, расположенные в нижней полуплоскости.

Ответ: Графики функций $y=-x^2$ и $y=-\frac{1}{3}x^2$ - это параболы с вершиной в начале координат, ветви которых направлены вниз. Парабола $y=-x^2$ расположена ближе к оси $y$ по сравнению с более "широкой" параболой $y=-\frac{1}{3}x^2$.

3) Построим графики функций $y = 2x^2$ и $y = 5x^2$.

Это снова параболы вида $y=ax^2$, симметричные относительно оси $y$ с вершиной в точке $(0,0)$.

Коэффициенты $a=2$ и $a=5$ положительны, значит, ветви парабол направлены вверх.

Сравним коэффициенты по модулю: $|5| > |2|$. Это означает, что парабола $y=5x^2$ будет "уже" и "круче" параболы $y=2x^2$. Обе параболы "уже" стандартной параболы $y=x^2$.

Найдем координаты точек для построения.

Таблица значений для $y=2x^2$:

Таблица значений для $y=5x^2$:

Отмечаем точки на плоскости и проводим через них плавные кривые. Оба графика будут находиться в верхней полуплоскости.

Ответ: Графики функций $y=2x^2$ и $y=5x^2$ - это параболы с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Обе параболы расположены в верхней полуплоскости, при этом график $y=5x^2$ является более "узким" (сильнее прижат к оси $y$), чем график $y=2x^2$.