Номер 25.4, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.4. С помощью графика функции $y = 0,4x^2$ сравните значения выражений:

1) $0,4 \cdot 3^4$ и $0,4 \cdot 4^4$;

2) $0,4 \cdot (-2)^2$ и $0,4 \cdot (-3)^2$.

Для сравнения значений выражений воспользуемся свойствами функции $y = 0,4x^2$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, и с вершиной в начале координат $(0; 0)$.

Ключевые свойства этой функции, которые нам понадобятся:

1. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = 0,4x^2$ является возрастающей. Это значит, что для любых двух неотрицательных аргументов, если $x_2 > x_1$, то и $y(x_2) > y(x_1)$.

2. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y = 0,4x^2$ является убывающей. Это значит, что для любых двух отрицательных аргументов, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) > y(x_2)$.

1) Сравнить $0,4 \cdot 3^4$ и $0,4 \cdot 4^4$

Чтобы использовать график функции $y = 0,4x^2$, представим данные выражения в виде значений этой функции. Для этого выполним преобразования:

$0,4 \cdot 3^4 = 0,4 \cdot (3^2)^2 = 0,4 \cdot 9^2$. Это значение функции $y(x)$ при $x=9$, то есть $y(9)$.

$0,4 \cdot 4^4 = 0,4 \cdot (4^2)^2 = 0,4 \cdot 16^2$. Это значение функции $y(x)$ при $x=16$, то есть $y(16)$.

Таким образом, задача сводится к сравнению значений $y(9)$ и $y(16)$.

Аргументы $x_1=9$ и $x_2=16$ принадлежат промежутку $[0; +\infty)$, на котором функция возрастает. Поскольку $16 > 9$, то из свойства возрастающей функции следует, что $y(16) > y(9)$.

Следовательно, $0,4 \cdot 4^4 > 0,4 \cdot 3^4$.

Ответ: $0,4 \cdot 3^4 < 0,4 \cdot 4^4$.

2) Сравнить $0,4 \cdot (-2)^2$ и $0,4 \cdot (-3)^2$

Данные выражения уже представляют собой значения функции $y(x) = 0,4x^2$ в точках $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

То есть, нам нужно сравнить $y(-2)$ и $y(-3)$.

Аргументы $x_1=-2$ и $x_2=-3$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0]$, на котором функция убывает. Мы сравниваем значения для $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$. Так как $-3 < -2$, то по свойству убывающей функции $y(-3) > y(-2)$. На графике точка с абсциссой $-3$ будет расположена выше, чем точка с абсциссой $-2$.

Следовательно, $0,4 \cdot (-3)^2 > 0,4 \cdot (-2)^2$.

Ответ: $0,4 \cdot (-2)^2 < 0,4 \cdot (-3)^2$.