Вопрос критерии успеха, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Какими свойствами обладает функция $y = ax^3$ ($a \neq 0$) и как построить ее график?

Свойства функции y = ax³ (a ≠ 0)

Функция $y = ax^3$ при $a \neq 0$ является степенной функцией. Ее график носит название кубическая парабола. Рассмотрим ее основные свойства, которые можно разделить на общие (не зависящие от знака $a$) и частные (зависящие от знака $a$).

Общие свойства (для любого $a \neq 0$):

1. Область определения: Вся числовая прямая, так как выражение $ax^3$ имеет смысл при любом значении $x$. В виде формулы: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: Вся числовая прямая, так как функция может принимать любое действительное значение. В виде формулы: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

3. Нули функции: Функция обращается в ноль только в одной точке. Уравнение $y=0$ равносильно $ax^3=0$, что при $a \neq 0$ дает единственное решение $x=0$. Таким образом, график пересекает оси координат только в начале координат — точке $(0,0)$.

4. Четность/нечетность: Функция является нечетной. Проверим это свойство: $y(-x) = a(-x)^3 = a(-x^3) = -ax^3 = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат, точки $(0,0)$.

5. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения.

6. Точка перегиба: Точка $(0,0)$ является точкой перегиба графика функции, так как в этой точке меняется направление выпуклости кривой.

Свойства при $a > 0$:

1. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$. График функции расположен в I и III координатных четвертях.

2. Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) < y(x_2)$.

3. Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума и минимума.

Свойства при $a < 0$:

1. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x > 0$; $y > 0$ при $x < 0$. График функции расположен во II и IV координатных четвертях.

2. Монотонность: Функция является строго убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$.

3. Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума и минимума.

Ответ: Функция $y=ax^3$ определена и принимает значения на всей числовой прямой, является нечетной (график симметричен относительно начала координат). Точка $(0,0)$ является единственным нулем функции и точкой перегиба. При $a>0$ функция строго возрастает, ее график расположен в I и III четвертях. При $a<0$ функция строго убывает, ее график расположен во II и IV четвертях.

Как построить ее график

График функции $y=ax^3$ (кубическую параболу) можно построить по точкам, понимая, как коэффициент $a$ влияет на базовый график $y=x^3$.

Шаг 1: Анализ коэффициента a

Коэффициент $a$ определяет форму и расположение графика:

• Знак a: Если $a > 0$, график функции "идет" из левой нижней части плоскости в правую верхнюю, то есть функция возрастает. Если $a < 0$, график "идет" из левой верхней части в правую нижнюю, то есть функция убывает. Случай $a < 0$ можно рассматривать как отражение графика $y=|a|x^3$ относительно оси Ox.

• Величина |a|: Модуль коэффициента $a$ влияет на "крутизну" графика. Если $|a| > 1$, график вытягивается вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y=x^3$. Если $0 < |a| < 1$, график сжимается к оси Ox.

Шаг 2: Нахождение ключевых точек

Для построения эскиза графика достаточно найти несколько точек, составив небольшую таблицу значений.

1. Центральная точка: График всегда проходит через начало координат, точку $(0,0)$.

2. Симметричные точки: Используя свойство нечетности, достаточно вычислить значения для нескольких положительных $x$ (например, $x=1, x=2$). Если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, -y_0)$ тоже ему принадлежит.

Пример для $y=2x^3$ ($a=2 > 0$):

• $x=0 \implies y=2 \cdot 0^3 = 0$. Точка $(0,0)$.

• $x=1 \implies y=2 \cdot 1^3 = 2$. Точка $(1,2)$.

• По симметрии получаем точку $(-1,-2)$.

• $x=2 \implies y=2 \cdot 2^3 = 16$. Точка $(2,16)$.

• По симметрии получаем точку $(-2,-16)$.

Пример для $y=-0.5x^3$ ($a=-0.5 < 0$):

• $x=0 \implies y=-0.5 \cdot 0^3 = 0$. Точка $(0,0)$.

• $x=1 \implies y=-0.5 \cdot 1^3 = -0.5$. Точка $(1,-0.5)$.

• По симметрии получаем точку $(-1, 0.5)$.

• $x=2 \implies y=-0.5 \cdot 2^3 = -4$. Точка $(2,-4)$.

• По симметрии получаем точку $(-2, 4)$.

Шаг 3: Построение кривой

Отметьте вычисленные точки на координатной плоскости. Соедините их плавной линией, помня о симметрии относительно начала координат. В окрестности точки $(0,0)$ график "прижимается" к оси абсцисс, а при увеличении $|x|$ кривая становится все более крутой.

Ответ: Чтобы построить график функции $y=ax^3$, необходимо: 1) по знаку $a$ определить, возрастает или убывает функция; 2) вычислить координаты 3-5 ключевых точек (например, при $x=0, 1, -1, 2, -2$); 3) отметить эти точки на координатной плоскости; 4) соединить точки плавной кривой, симметричной относительно начала координат.