Задания, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

В одной и той же системе координат постройте кубические параболы, которые являются графиками функций: $y = -x^3$, $y = -\frac{1}{2}x^3$ и $y = -2x^3$.

Для построения графиков функций в одной системе координат необходимо найти несколько ключевых точек для каждой функции, а затем соединить их плавной кривой. Все три заданные функции являются кубическими параболами вида $y = kx^3$. Поскольку для всех трёх функций коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), их графики будут расположены во второй и четвертой координатных четвертях и будут симметричны относительно начала координат.

$y = -x^3$

Составим таблицу значений для этой функции. Для этого выберем несколько значений $x$ и вычислим соответствующие значения $y$.

• При $x = -2$, $y = -(-2)^3 = -(-8) = 8$. Точка $(-2, 8)$.
• При $x = -1$, $y = -(-1)^3 = -(-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$.
• При $x = 0$, $y = -(0)^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = -(1)^3 = -1$. Точка $(1, -1)$.
• При $x = 2$, $y = -(2)^3 = -8$. Точка $(2, -8)$.

$y = -\frac{1}{2}x^3$

Составим таблицу значений для второй функции.

• При $x = -2$, $y = -\frac{1}{2}(-2)^3 = -\frac{1}{2}(-8) = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• При $x = -1$, $y = -\frac{1}{2}(-1)^3 = -\frac{1}{2}(-1) = 0.5$. Точка $(-1, 0.5)$.
• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = -\frac{1}{2}(1)^3 = -0.5$. Точка $(1, -0.5)$.
• При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2}(2)^3 = -\frac{1}{2}(8) = -4$. Точка $(2, -4)$.

$y = -2x^3$

Составим таблицу значений для третьей функции.

• При $x = -2$, $y = -2(-2)^3 = -2(-8) = 16$. Точка $(-2, 16)$.
• При $x = -1$, $y = -2(-1)^3 = -2(-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$.
• При $x = 0$, $y = -2(0)^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = -2(1)^3 = -2$. Точка $(1, -2)$.
• При $x = 2$, $y = -2(2)^3 = -2(8) = -16$. Точка $(2, -16)$.

Построение и анализ графиков

Для построения графиков начертим систему координат Oxy. Затем для каждой функции отметим вычисленные точки на координатной плоскости и соединим их плавными кривыми, учитывая, что все они являются кубическими параболами.

• Все три графика проходят через начало координат, точку $(0, 0)$.
• График функции $y = -x^3$ можно считать основным для сравнения.
• График функции $y = -\frac{1}{2}x^3$ получается из графика $y = -x^3$ путем "сжатия" к оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Это означает, что при тех же значениях $x$, значения $y$ по модулю будут в два раза меньше. График будет выглядеть более "пологим".
• График функции $y = -2x^3$ получается из графика $y = -x^3$ путем "растяжения" от оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Это означает, что при тех же значениях $x$, значения $y$ по модулю будут в два раза больше. График будет выглядеть более "крутым" и прижатым к оси ординат (оси Oy).

Ответ: Для построения графиков функций $y = -x^3$, $y = -\frac{1}{2}x^3$ и $y = -2x^3$ нужно вычислить координаты нескольких точек для каждой функции, нанести их на одну координатную плоскость и соединить плавными кривыми. Все три графика являются кубическими параболами, проходящими через начало координат и расположенными во II и IV четвертях. График $y = -2x^3$ будет самым крутым (сильнее растянут вдоль оси Oy), а график $y = -\frac{1}{2}x^3$ — самым пологим (сжат к оси Ox).