Номер 27.7, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.7. Пересекается ли график функции $f(x) = -\frac{5}{x}$ с графиком функции:

1) $y = -x + 3$;

2) $y = 2x$;

3) $y = x + 1$;

4) $y = -3x - 3.5$;

5) $y = -x^2$;

6) $y = -0.5 x^3$;

7) $y = \frac{1}{3} x^2$;

8) $y = |x|$?

1)Чтобы определить, пересекаются ли графики функций f(x) = -5/x и y = -x + 3, необходимо найти их общие точки. Для этого приравняем правые части уравнений:

-5/x = -x + 3

Данное уравнение определено при x ≠ 0. Умножим обе части на x, чтобы избавиться от знаменателя:

-5 = x(-x + 3)

-5 = -x² + 3x

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

x² - 3x - 5 = 0

Найдем дискриминант D по формуле D = b² - 4ac:

D = (-3)² - 4 * 1 * (-5) = 9 + 20 = 29

Поскольку дискриминант D > 0, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: да, пересекается.

2)Приравняем функции f(x) = -5/x и y = 2x:

-5/x = 2x

Умножим на x (при x ≠ 0):

-5 = 2x²

x² = -5/2

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Графики не пересекаются.

Ответ: нет, не пересекается.

3)Приравняем функции f(x) = -5/x и y = x + 1:

-5/x = x + 1

Умножим на x (при x ≠ 0):

-5 = x(x + 1)

-5 = x² + x

x² + x + 5 = 0

Найдем дискриминант:

D = 1² - 4 * 1 * 5 = 1 - 20 = -19

Поскольку D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Графики не пересекаются.

Ответ: нет, не пересекается.

4)Приравняем функции f(x) = -5/x и y = -3x - 3,5:

-5/x = -3x - 3,5

Умножим на x (при x ≠ 0):

-5 = x(-3x - 3,5)

-5 = -3x² - 3,5x

3x² + 3,5x - 5 = 0

Найдем дискриминант:

D = (3,5)² - 4 * 3 * (-5) = 12,25 + 60 = 72,25

Поскольку D > 0, уравнение имеет два действительных корня. Графики пересекаются.

Ответ: да, пересекается.

5)Приравняем функции f(x) = -5/x и y = -x²:

-5/x = -x²

Умножим на x (при x ≠ 0):

-5 = -x³

x³ = 5

Это уравнение имеет один действительный корень x = ³√5. Следовательно, графики пересекаются.

Ответ: да, пересекается.

6)Приравняем функции f(x) = -5/x и y = -0,5x³:

-5/x = -0,5x³

Умножим на x (при x ≠ 0):

-5 = -0,5x⁴

x⁴ = 5 / 0,5

x⁴ = 10

Это уравнение имеет два действительных корня: x = ⁴√10 и x = -⁴√10. Графики пересекаются.

Ответ: да, пересекается.

7)Приравняем функции f(x) = -5/x и y = (1/3)x²:

-5/x = (1/3)x²

Умножим на x (при x ≠ 0):

-5 = (1/3)x³

x³ = -15

Уравнение имеет один действительный корень x = ³√(-15). Графики пересекаются.

Ответ: да, пересекается.

8)Приравняем функции f(x) = -5/x и y = |x|:

-5/x = |x|

Рассмотрим два случая:

1. Если x > 0, то |x| = x. Уравнение принимает вид:

-5/x = x =>x² = -5. Действительных корней нет.

2. Если x < 0, то |x| = -x. Уравнение принимает вид:

-5/x = -x =>x² = 5. Корни x = ±√5. Так как мы рассматриваем случай x < 0, подходит корень x = -√5.

Поскольку существует хотя бы один действительный корень, графики функций пересекаются.

Ответ: да, пересекается.