Номер 27.8, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.8. Могут ли графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = ax + b$ пересекаться:

1) только в одной точке;

2) только в двух точках;

3) в трех точках?

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = ax + b$, необходимо решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений:

$\frac{4}{x} = ax + b$

Поскольку $x$ находится в знаменателе, $x \ne 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$4 = x(ax + b)$

$4 = ax^2 + bx$

$ax^2 + bx - 4 = 0$

Количество точек пересечения графиков равно количеству действительных корней этого уравнения.

1) только в одной точке

Да, могут. Это возможно в двух случаях.

Первый случай: если коэффициент $a = 0$. Тогда прямая $y = ax + b$ становится горизонтальной прямой $y = b$. Наше уравнение принимает вид:

$0 \cdot x^2 + bx - 4 = 0$, или $bx = 4$.

Если $b \ne 0$, это уравнение имеет ровно один корень $x = \frac{4}{b}$. Например, при $a=0$ и $b=2$ прямая $y=2$ пересекает гиперболу $y = \frac{4}{x}$ в одной точке $(2, 2)$.

Второй случай: если $a \ne 0$. Уравнение $ax^2 + bx - 4 = 0$ является квадратным и имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю.

$D = b^2 - 4(a)(-4) = b^2 + 16a = 0$.

Такие значения $a$ и $b$ существуют. Например, если $a = -1$, то $b^2 + 16(-1) = 0$, откуда $b^2 = 16$, то есть $b = 4$ или $b = -4$. При $a=-1$ и $b=4$ прямая $y = -x + 4$ касается гиперболы в одной точке $(2, 2)$.

Ответ: да, могут.

2) только в двух точках

Да, могут. Это произойдет, если квадратное уравнение $ax^2 + bx - 4 = 0$ (при $a \ne 0$) будет иметь два различных действительных корня. Это условие выполняется, когда дискриминант больше нуля.

$D = b^2 + 16a > 0$.

Например, выберем $a=1$ и $b=0$. Тогда $D = 0^2 + 16(1) = 16 > 0$. Прямая $y = x$ пересекает гиперболу $y=\frac{4}{x}$ в двух точках. Уравнение $x^2 - 4 = 0$ имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Ответ: да, могут.

3) в трех точках

Нет, не могут. Количество точек пересечения определяется количеством корней уравнения $ax^2 + bx - 4 = 0$.

Если $a \ne 0$, это уравнение является квадратным и может иметь не более двух действительных корней.

Если $a = 0$, уравнение становится линейным ($bx - 4 = 0$) и может иметь не более одного корня (если $b=0$, то корней нет).

Таким образом, максимальное количество точек пересечения прямой и гиперболы равно двум. Трех точек пересечения быть не может.

Ответ: нет, не могут.