Номер 27.9, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.9. Постройте график функции:

1) $y = \frac{2}{|x|}$

2) $y = -\frac{2}{|x|}$

3) $y = \frac{1}{|-x|}$

4) $y = \frac{-0,2}{|x|}$

1) $y = \frac{2}{|x|}$

Это функция вида $y = f(|x|)$, где $f(x) = \frac{2}{x}$. График такой функции является четным, то есть симметричным относительно оси ординат (оси $Oy$). Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Мы можем построить график, рассмотрев два случая.

1. Построим график для $x > 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первом координатном угле.

2. Так как функция четная ($y(-x) = \frac{2}{|-x|} = \frac{2}{|x|} = y(x)$), ее график симметричен относительно оси $Oy$. Поэтому для $x < 0$ мы отражаем построенную в первом квадранте ветвь гиперболы относительно оси $Oy$. Полученная ветвь будет расположена во втором координатном угле.

Таким образом, график состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой ($y \to 0$ при $x \to \pm\infty$), а ось $Oy$ — вертикальной асимптотой ($y \to +\infty$ при $x \to 0$).

Найдем несколько точек для построения:

при $x=1$, $y = \frac{2}{1} = 2$;

при $x=2$, $y = \frac{2}{2} = 1$;

при $x=0.5$, $y = \frac{2}{0.5} = 4$;

при $x=-1$, $y = \frac{2}{|-1|} = 2$;

при $x=-2$, $y = \frac{2}{|-2|} = 1$.

Ответ: График функции состоит из двух симметричных относительно оси $Oy$ ветвей. Одна ветвь — это график функции $y = \frac{2}{x}$ для $x > 0$, расположенная в I координатной четверти. Вторая ветвь — ее зеркальное отражение относительно оси $Oy$, расположенное во II координатной четверти. Асимптоты — оси координат.

2) $y = -\frac{2}{|x|}$

Данная функция отличается от предыдущей только знаком "минус". График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (оси $Ox$).

Следовательно, мы можем взять график функции $y = \frac{2}{|x|}$ из пункта 1) и отразить его симметрично относительно оси $Ox$.

Ветви, которые были в первом и втором квадрантах, окажутся в четвертом и третьем квадрантах соответственно. Функция является четной, область определения $x \neq 0$. Значения функции всегда отрицательны ($y<0$).

Найдем несколько точек для построения:

при $x=1$, $y = -\frac{2}{1} = -2$;

при $x=2$, $y = -\frac{2}{2} = -1$;

при $x=0.5$, $y = -\frac{2}{0.5} = -4$;

при $x=-1$, $y = -\frac{2}{|-1|} = -2$;

при $x=-2$, $y = -\frac{2}{|-2|} = -1$.

Ответ: График функции состоит из двух симметричных относительно оси $Oy$ ветвей. Одна ветвь расположена в IV координатной четверти (для $x > 0$), вторая — в III координатной четверти (для $x < 0$). График получен отражением графика функции $y = \frac{2}{|x|}$ относительно оси $Ox$. Асимптоты — оси координат.

3) $y = \frac{1}{|-x|}$

Упростим данную функцию. Так как модуль отрицательного числа равен модулю положительного числа, $|-x| = |x|$. Следовательно, функция имеет вид $y = \frac{1}{|x|}$.

Построение этого графика аналогично построению в пункте 1). Это четная функция с областью определения $x \neq 0$.

1. Для $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Строим ветвь гиперболы в первом координатном угле.

2. Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси $Oy$, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Эта ветвь будет расположена во втором координатном угле.

График состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости ($y > 0$). Асимптотами являются оси координат.

Найдем несколько точек для построения:

при $x=1$, $y = \frac{1}{1} = 1$;

при $x=2$, $y = \frac{1}{2} = 0.5$;

при $x=0.5$, $y = \frac{1}{0.5} = 2$;

при $x=-1$, $y = \frac{1}{|-1|} = 1$;

при $x=-2$, $y = \frac{1}{|-2|} = 0.5$.

Ответ: График функции идентичен графику функции $y = \frac{1}{|x|}$ и состоит из двух симметричных относительно оси $Oy$ ветвей. Одна ветвь — это график $y = \frac{1}{x}$ для $x > 0$ (в I четверти), вторая — ее отражение относительно оси $Oy$ (во II четверти). Асимптоты — оси координат.

4) $y = \frac{-0.2}{|x|}$

Эту функцию можно записать как $y = -\frac{0.2}{|x|}$. Ее построение аналогично построению в пункте 2). Это четная функция ($y(-x) = y(x)$), с областью определения $x \neq 0$. Все значения функции отрицательны.

1. Для $x > 0$ функция принимает вид $y = -\frac{0.2}{x}$. Строим ветвь гиперболы в четвертом координатном угле.

2. Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси $Oy$ и получаем вторую ветвь в третьем координатном угле.

График состоит из двух ветвей, расположенных в нижней полуплоскости ($y < 0$). По сравнению с графиком из пункта 2), этот график будет "прижат" к оси $Ox$, так как коэффициент $0.2$ меньше $2$.

Найдем несколько точек для построения:

при $x=1$, $y = -\frac{0.2}{1} = -0.2$;

при $x=0.2$, $y = -\frac{0.2}{0.2} = -1$;

при $x=2$, $y = -\frac{0.2}{2} = -0.1$;

при $x=-1$, $y = -\frac{0.2}{|-1|} = -0.2$;

при $x=-0.2$, $y = -\frac{0.2}{|-0.2|} = -1$.

Ответ: График функции состоит из двух симметричных относительно оси $Oy$ ветвей. Одна ветвь — это график функции $y = -\frac{0.2}{x}$ для $x > 0$, расположенная в IV координатной четверти. Вторая ветвь — ее зеркальное отражение относительно оси $Oy$, расположенное в III координатной четверти. Асимптоты — оси координат.