Номер 27.6, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.6. Решите уравнение графическим способом:

1) $4 = -\frac{2}{|x|}$;

2) $3 = \frac{4}{x}$;

3) $x = -\frac{2}{|x|}$;

4) $2x = -\frac{5}{x}$;

5) $x^2 = \frac{1}{x}$;

6) $x^3 = -x^2$;

7) $x^2 = x + 2$;

8) $0,25x^2 = \frac{2}{|x|}$.

1) Чтобы решить уравнение $4 = \frac{2}{|x|}$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y = 4$ и $y = \frac{2}{|x|}$.

График функции $y = 4$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; 4)$.

График функции $y = \frac{2}{|x|}$ состоит из двух ветвей. Для $x > 0$ он совпадает с графиком функции $y = \frac{2}{x}$ (ветвь гиперболы в I четверти). Для $x < 0$ он совпадает с графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ (ветвь гиперболы во II четверти). График симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Прямая $y=4$ пересекает обе ветви графика $y = \frac{2}{|x|}$. Абсциссы точек пересечения являются решениями уравнения. Из уравнения $4 = \frac{2}{|x|}$ получаем $|x| = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Это означает, что $x = \frac{1}{2}$ или $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.

2) Чтобы решить уравнение $3 = \frac{4}{x}$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y = 3$ и $y = \frac{4}{x}$.

График функции $y = 3$ — это прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0; 3)$.

График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Прямая $y=3$ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в I четверти. Абсцисса точки пересечения и будет решением уравнения. Из уравнения $3 = \frac{4}{x}$ находим $x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

3) Чтобы решить уравнение $x = -\frac{2}{|x|}$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y = x$ и $y = -\frac{2}{|x|}$.

График функции $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов.

График функции $y = -\frac{2}{|x|}$ состоит из двух ветвей и расположен в нижней полуплоскости. Для $x > 0$ он совпадает с графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ (ветвь гиперболы в IV четверти). Для $x < 0$ он совпадает с графиком функции $y = \frac{2}{x}$ (ветвь гиперболы в III четверти).

Графики могут пересечься только в III четверти, где $x < 0$ и $y < 0$. Для $x < 0$ уравнение принимает вид $x = \frac{2}{x}$. Умножая обе части на $x$, получаем $x^2 = 2$, откуда $x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$. Поскольку мы рассматриваем случай $x < 0$, решением является $x = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

4) Чтобы решить уравнение $2x = -\frac{5}{x}$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y = 2x$ и $y = -\frac{5}{x}$.

График функции $y = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

График функции $y = -\frac{5}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Поскольку графики функций расположены в разных четвертях и не проходят через оси (кроме $y=2x$ в начале координат, где $y=-5/x$ не определена), они не имеют общих точек. Следовательно, уравнение не имеет решений. Алгебраически: $2x^2 = -5$, $x^2 = -2.5$, что невозможно для действительных чисел $x$.

Ответ: нет корней.

5) Чтобы решить уравнение $x^2 = \frac{1}{x}$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = \frac{1}{x}$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Парабола $y=x^2$ расположена в I и II четвертях. Пересечение с гиперболой возможно только в I четверти, где $x > 0$. Приравнивая функции, получаем $x^2 = \frac{1}{x}$, откуда $x^3 = 1$. Единственным действительным корнем этого уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.

6) Чтобы решить уравнение $x^3 = -x^2$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -x^2$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях.

График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз.

Графики пересекаются. Чтобы найти абсциссы точек пересечения, решим уравнение $x^3 = -x^2$, или $x^3 + x^2 = 0$. Вынося $x^2$ за скобки, получаем $x^2(x + 1) = 0$. Отсюда $x^2 = 0$ или $x+1 = 0$. Решениями являются $x = 0$ и $x = -1$.

Ответ: $-1; 0$.

7) Чтобы решить уравнение $x^2 = x + 2$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = x + 2$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.

График функции $y = x + 2$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(-2; 0)$.

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. Для их нахождения решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 2$.

8) Чтобы решить уравнение $0.25x^2 = \frac{2}{|x|}$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y = 0.25x^2$ и $y = \frac{2}{|x|}$.

График функции $y = 0.25x^2$ (или $y = \frac{1}{4}x^2$) — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Она шире, чем парабола $y=x^2$.

График функции $y = \frac{2}{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, и расположен в I и II четвертях.

Обе функции являются чётными, поэтому их графики симметричны относительно оси Oy. Это означает, что если $x_0$ является решением, то и $-x_0$ также будет решением. Найдем положительное решение, рассмотрев случай $x > 0$. Уравнение примет вид $0.25x^2 = \frac{2}{x}$. Умножим обе части на 4: $x^2 = \frac{8}{x}$, откуда $x^3 = 8$. Единственный положительный корень этого уравнения — $x=2$. В силу симметрии, вторым корнем будет $x=-2$.

Ответ: $-2; 2$.