Вопрос критерии успеха, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что такое формулы сокращенного умножения и как их применять?

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) — это готовые алгебраические тождества, которые позволяют выполнять умножение многочленов или их возведение в степень по упрощенной схеме, без необходимости раскрывать скобки "в лоб" каждый раз. Их знание существенно ускоряет вычисления и упрощает преобразование алгебраических выражений.

Основных формул семь, и они используются как "слева направо" для раскрытия скобок, так и "справа налево" для разложения на множители. Вот эти формулы:

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Применение этих формул зависит от задачи. Их можно использовать для быстрого возведения в степень, умножения, упрощения выражений и разложения на множители. Рассмотрим применение каждой формулы на примерах.

Применение формулы "Квадрат суммы"

Эта формула используется для раскрытия скобок вида $(a+b)^2$.

Пример 1: Раскрыть скобки в выражении $(x+5)^2$.

Здесь $a=x$, а $b=5$. Подставляем в формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x+5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$.

Пример 2: Вычислить $103^2$.

Представим $103$ как $(100+3)$. Тогда:

$103^2 = (100+3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$.

Ответ: Формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ применяется для быстрого возведения в квадрат суммы двух слагаемых, как в алгебраических выражениях, так и в арифметических вычислениях.

Применение формулы "Квадрат разности"

Используется для выражений вида $(a-b)^2$.

Пример 1: Упростить $(3y-4)^2$.

Здесь $a=3y$, $b=4$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3y-4)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 4 + 4^2 = 9y^2 - 24y + 16$.

Пример 2: Вычислить $98^2$.

Представим $98$ как $(100-2)$. Тогда:

$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.

Ответ: Формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ позволяет быстро возводить в квадрат разность двух слагаемых.

Применение формулы "Разность квадратов"

Эта формула очень часто используется в обратном порядке ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$) для разложения на множители.

Пример 1 (умножение): Вычислить $47 \cdot 53$.

Представим числа как $(50-3)$ и $(50+3)$. Применяем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$47 \cdot 53 = (50-3)(50+3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.

Пример 2 (разложение на множители): Разложить на множители $9m^2 - 49$.

Представим выражение в виде $a^2-b^2$. Здесь $a^2 = 9m^2$, значит $a=3m$, и $b^2 = 49$, значит $b=7$.

$9m^2 - 49 = (3m)^2 - 7^2 = (3m-7)(3m+7)$.

Ответ: Формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ используется для быстрого перемножения скобок вида $(a-b)(a+b)$ и, что более важно, для разложения выражений вида $a^2 - b^2$ на множители.

Применение формул для кубов

Эти формулы используются аналогично, но для третьих степеней.

Пример "Куб суммы": Раскрыть скобки $(x+2)^3$.

Используем $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

Пример "Разность кубов": Разложить на множители $8c^3 - 1$.

Представим выражение как $(2c)^3 - 1^3$. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$8c^3 - 1 = (2c-1)((2c)^2 + 2c \cdot 1 + 1^2) = (2c-1)(4c^2 + 2c + 1)$.

Ответ: Формулы, связанные с кубами, применяются для раскрытия скобок выражений в третьей степени (куб суммы/разности) и для разложения на множители выражений, представляющих собой сумму или разность кубов.

В целом, формулы сокращенного умножения — это фундаментальный инструмент в алгебре, который позволяет эффективно упрощать выражения, решать уравнения и выполнять вычисления.